2014-湖南卷理-07 单-三视图还原几何体

本题导读

本题考查三视图还原几何体及内切球半径的计算。解题关键在于准确识别三视图所表示的几何体形状（直三棱柱），并将求最大球半径的问题转化为求底面直角三角形内切圆半径的问题。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原几何体：
   • 正视图是一个直角边分别为 6 和 8 的直角三角形。
   • 侧视图是一个矩形。
   • 俯视图是一个宽为 12 的矩形。
   • 综合判断，该几何体是一个底面为直角三角形（直角边为 6, 8）且高为 12 的直三棱柱。
2. 分析最大球半径：
   • 最大球应与三棱柱的各个面相切。
   • 这意味着球的直径受限于三棱柱底面三角形的内切圆直径以及三棱柱的高度。
   • 三棱柱的高为 12，底面直角三角形的内切圆直径可知小于 12。因此，最大球的半径即为底面直角三角形内切圆的半径。
3. 计算半径：
   • 利用直角三角形内切圆半径公式 $r=\frac{a+b-c}{2}$，其中 $a,b$ 为直角边，$c$ 为斜边。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定几何体参数 由三视图可知，该几何体为平放的直三棱柱。

• 底面直角三角形的两直角边分别为 $a=6$，$b=8$。
• 利用勾股定理计算斜边 $c=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
• 三棱柱的高度（即侧棱长）$h=12$。

第二步：求最大球半径 $r$ 要使球最大，球必须与三棱柱的底面及侧面均相切。 最大球的半径 $r$ 满足： $2r\le \min (\text{底面内切圆直径},\text{三棱柱的高})$。 计算底面直角三角形内切圆半径 $r_{in}$： $r_{in}=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=\frac{4}{2}=2$ 此时直径 $2r_{in}=4$。 因为 $4<12$（高度足够），所以最大球的半径即为底面内切圆的半径。 $r=2$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原几何体与内切球半径

2. 核心方法：还原为直三棱柱，最大球半径为底面直角三角形内切圆半径 $r=\frac{a+b-c}{2}$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三视图还原与内切球模型

2. 结论推广: 直角三角形内切圆半径 $r=\frac{a+b-c}{2}$。

3. 方法推广: 可迁移到三视图还原几何体与内切球半径类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-08 单-由三视图还原几何体
• 2013-陕西卷理-12 填-三视图还原
• 2013-辽宁卷理-13 填-三视图还原