2014-湖南卷理-17 解-相互独立事件的概率

本题导读

本题考查相互独立事件概率的计算及离散型随机变量的分配列与期望。第一问利用对立事件简化计算；第二问通过穷举研发结果的所有可能情况，确定利润的分配列并计算期望。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 某企业甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{5}$.现安排甲组研发新产品$A$，乙组研发新产品$B$.设甲、乙施工的研发是相互独立的.

(1) 求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2) 若新产品$A$研发成功，预计企业获利120万元；若新产品$B$研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业获得利润的分配列数和进度预期.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：“至少有一个成功”的对立事件是“两个都失败”。$P(\text{至少一个})=1-P(\text{全失败})$计算更不用说。

2. 第二问：

   • 确定随机变量：设定利润为$X$（或$\xi$）。研发结果有四种：(失,失)、(成,失)、(失,成)、(成,成)。

   • 计算取值：对应的利润分别为$0,120,100,220$（万元）。

   • 计算概率：利用独立事件乘法公式$P(AB)=P(A)P(B)$分别计算概率。

   • 列分配列并运算期望：$E(X)=\sum x_i{p}_i$。

✅【答案】

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答：该企业获得利润的期望为140万元

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 设定“至少有一个新产品研发成功”为事件$M$。 其对立事件$\bar{M}$为“两种产品研发成功率”。因为甲、乙型产品研发成功率分别为$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{5}$，且相互独立，则甲失败概率为$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，乙失败概率为$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$。所以，$P(\bar{M})=\frac{1}{3}\times \frac{2}{5}=\frac{2}{15}$。 由对立事件概率公式得：

$P(M)=1-P(\bar{M})=1-\frac{2}{15}=\frac{13}{15}$

答：至少有一种新产品研发成功的概率为$\frac{13}{15}$。

(2) 解： 设企业获得的利润为$X$万元。 $X$的可能取值：$0,100,120,220$。计算各取值对应的概率：

• $P(X=0)=\frac{1}{3}\times \frac{2}{5}=\frac{2}{15}$；

• $P(X=120)=\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{15}$（甲成功，乙失败）；

• $P(X=100)=\frac{1}{3}\times \frac{3}{5}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$（甲失败，乙成功）；

• $P(X=220)=\frac{2}{3}\times \frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$（甲乙都成功）。

$X$的分配列表如下： |$X$| 0 | 100 | 120 | 220 | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | |$P$|$\frac{2}{15}$|$\frac{3}{15}$|$\frac{4}{15}$|$\frac{6}{15}$|

计算期望数学：

$E(X)=0\times \frac{2}{15}+100\times \frac{3}{15}+120\times \frac{4}{15}+220\times \frac{6}{15}$

$E(X)=0+20+32+88=140\text{（万元）}$

答：该企业获得利润的期望为140万元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相互独立事件概率与离散型随机变量期望

2. 核心方法：用对立事件求“至少一个成功”，枚举四种结果列利润分布列求期望

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 独立事件乘法公式与期望

2. 结论推广: $P(\text{至少一个})=1-P(\text{全失败})$。

3. 方法推广: 可迁移到独立事件概率与期望类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-20 解-独立事件概率
• 2013-福建卷理-16 解-相互独立事件
• 2013-大纲卷理-20 解-相互独立事件