2013-大纲卷理-20 解-相互独立事件

本题导读

本题考查概率计算。核心在于状态转移分析法、列表枚举法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判.每局比赛结束后，负的一方在下一局当裁判.设定各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$，各局比赛的结果都相互独立.第 1 局甲当裁判.

(1)求第 4 局甲当裁判的概率；

(2)设 $X$ 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析比赛机制：
   • 负者下一局当裁判，意味着“胜者”和“上局裁判”在下一局进行比赛。
   • 若某人在第 $n$ 局当裁判，说明该人必须在第 $n-1$ 局参加了比赛且输掉了。
2. 第一问：
   • 第 1 局甲当裁判 $⟹$ 第 1 局是乙、丙比赛。
   • 第 2 局甲必参加比赛（与第 1 局胜者比）。
   • 第 4 局甲当裁判 $⟺$ 第 3 局甲参加比赛且输掉 $⟺$ 第 2 局甲获胜且第 3 局甲负。
3. 第二问：
   • $X$ 的可能取值为 $0,1,2$。
   • 乙当裁判的情况取决于各局胜负走向。需要通过分类讨论判定前 4 局乙的所有状态。
   • 计算 $P(X=0),P(X=1),P(X=2)$，建立分布列，利用 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算期望。

✅【答案】

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当 $X=0$ 时；当 $X=2$ 时；当 $X=1$ 时

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 记 $A_i$ 为“第 $i$ 局甲参加比赛并获胜”，${\bar{A}}_i$ 为“第 $i$ 局甲参加比赛并负”。 已知第 1 局甲当裁判，则第 2 局甲必参加比赛。 第 4 局甲当裁判，要求甲在第 3 局比赛中输掉。 要使甲参加第 3 局，甲必须在第 2 局获胜。 因此，第 4 局甲当裁判的情况为：第 2 局甲胜（$A_2$）且第 3 局甲负（${\bar{A}}_3$）。 由于各局获胜概率均为 $\frac{1}{2}$ 且相互独立： $P(\text{第 4 局甲当裁判})=P(A_2)\cdot P({\bar{A}}_3)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

（Ⅱ）解： $X$ 的可能取值为 $0,1,2$。第 1 局甲裁判，乙丙比赛。

1. 当 $X=0$ 时：乙前 4 局均不当裁判。 这意味着乙在参加的比赛中全部获胜。 乙参加了第 1 局。若乙在第 1、2、3 局均获胜，则乙在第 2、3、4 局都在比赛，不会当裁判。 $P(X=0)=(\frac{1}{2}{)}^3=\frac{1}{8}$

2. 当 $X=2$ 时：乙前 4 局当裁判 2 次。 第 1 局乙比赛，若乙负，则第 2 局乙裁判（1次）； 第 3 局乙必比赛（因为甲丙第 2 局必有一负去当第 3 局裁判），若乙再负，则第 4 局乙裁判（2次）。 此路径为：乙第 1 局负 $\to$ 第 2 局裁判 $\to$ 第 3 局负 $\to$ 第 4 局裁判。 $P(X=2)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

3. 当 $X=1$ 时： 利用补集法：$P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{5}{8}$

分布列如下：

$X$	0	1	2
$P$	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{8}$	$\frac{1}{4}$

计算期望： $E(X)=0\times \frac{1}{8}+1\times \frac{5}{8}+2\times \frac{1}{4}=\frac{5}{8}+\frac{4}{8}=\frac{9}{8}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：状态转移概率。这类问题的关键在于理解“裁判-选手”之间的转换逻辑。

核心方法：“分类穷举”与“补集法”。在计算分布列时，先算极端的 $X=0$ 和 $X=2$，再利用总概率为 1 求中间值，可以显著降低出错率。

避坑指南：容易忽略“甲第 1 局是裁判”这一初始条件，导致第 2 局的对阵双方判断错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件概率、全概率公式。

结论推广：若比赛局数 $n\to \infty$，三人当裁判的长期概率将趋于相等（即马尔可夫链的平稳分布）。

方法推广：涉及“淘汰赛”、“轮换赛”的概率题，画出树状图或状态转移图是万能解法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

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