2014-福建卷文-19 解-立体几何

本题导读

第(1)问按“线线垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直”走判定定理：在平面 $ABD$ 内找两条相交直线 $AB$、$BD$ 都与 $CD$ 垂直。第(2)问抓住 $M$ 为 $AD$ 中点，把 $V_{A-MBC}$ 换底为 $V_{C-ABM}=\frac{1}{2}{V}_{C-ABD}$，而 $V_{C-ABD}$ 即三棱锥 $A-BCD$ 的体积，一步到位。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)） 如图，三棱锥 $A-BCD$ 中，$AB\perp$ 平面 $BCD$，$CD\perp BD$.

(1) 求证：$CD\perp$ 平面 $ABD$；

(2) 若 $AB=BD=CD=1$，$M$ 为 $AD$ 中点，求三棱锥 $A-MBC$ 的体积.

🔍【思路分析】

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(1) $AB\perp$ 平面 $BCD\Rightarrow AB\perp CD$；又 $CD\perp BD$，$AB\cap BD=B$，故 $CD\perp$ 平面 $ABD$。 (2) 关键换底：$M$ 是 $AD$ 中点 $\Rightarrow V_{C-ABM}=\frac{1}{2}{V}_{C-ABD}=\frac{1}{2}{V}_{A-BCD}$，而 $V_{A-BCD}$ 直接由底 $△BCD$（直角）与高 $AB$ 求得。

✅【答案】

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(1) 证明 $CD\perp$ 平面 $ABD$；(2) $V_{A-MBC}$

✍【详细解析】

详细解析

(1) 因为 $AB\perp$ 平面 $BCD$，$CD\subset$ 平面 $BCD$，所以 $AB\perp CD$。又 $CD\perp BD$，$AB\subset$ 平面 $ABD$，$BD\subset$ 平面 $ABD$，$AB\cap BD=B$，所以 $CD\perp$ 平面 $ABD$。 (2) 因为 $M$ 为 $AD$ 中点，所以 $S_{△ABM}=\frac{1}{2}{S}_{△ABD}$，于是 $V_{A-MBC}=V_{C-ABM}=\frac{1}{2}{V}_{C-ABD}=\frac{1}{2}{V}_{A-BCD}$。而 $BD\perp CD$，$AB\perp$ 平面 $BCD$，故 $V_{A-BCD}=\frac{1}{3}\times S_{△BCD}\times AB=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times BD\times CD\times AB=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1\times 1\times 1=\frac{1}{6}$。所以 $V_{A-MBC}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的判定与三棱锥体积
2. 核心方法：判定定理 + 换底（等体积变形）
3. 避坑指南：写判定定理时“两线相交于面内”的三个条件缺一不可，只说 $AB\perp CD$、$BD\perp CD$ 而不指出 $AB\cap BD=B$ 会被扣分；求体积时中点带来的“减半”发生在以 $△ABD$ 为底的一侧，换底方向搞错会得到 $\frac{1}{4}$ 或 $\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题以三棱锥为载体，将垂直证明与体积计算串成一条链，是福建卷立体几何解答题的固定风格（与理科第 17 题同构）。
2. 结论推广: 若把 $M$ 改为 $AD$ 上满足 $AM=\lambda AD$ 的动点，则 $V_{A-MBC}=\lambda \cdot V_{A-BCD}$ 随 $\lambda$ 线性变化——体积与“到平面距离”成正比的本质。
3. 方法推广: 锥体体积问题的两大杠杆：换底（选择最容易算的底面与高）与中点/定比分点带来的比例缩减，两者组合可大幅减少坐标运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-17 解-面面垂直
• 2014-新课标I卷理-19 解-线面垂直