2014-陕西卷理-17 解-空间几何体的还原

本题导读

本题结合三视图考查四面体中的截面性质。第一问需利用线面平行的性质定理证明截面形状；第二问利用空间向量坐标运算求解线面角的正弦值。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 四面体 $ABCD$ 及其三视图如图所示，过棱 $AB$ 的中点 $E$ 作平行于 $AD$，$BC$ 的平面分别交四面体的棱 $BD,DC,CA$ 于点 $F,G,H$.

(1) 证明：四边形 $EFGH$ 是矩形；

(2) 求直线 $AB$ 与平面 $EFGH$ 夹角 $\theta$ 的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原几何体：由三视图可知，$AD\perp$ 平面 $BCD$，底面 $△BCD$ 中 $BD\perp DC$。数据为 $AD=1,BD=2,DC=2$。
2. 证明矩形：
   • 利用“线面平行 $⟹$ 线线平行”证 $EF\parallel AD,HG\parallel AD⟹EF\parallel HG$；同理证 $FG\parallel BC,EH\parallel BC⟹FG\parallel EH$。
   • 由 $AD\perp$ 面 $BCD$ 推出 $AD\perp BC$，进而由平行关系得 $EF\perp FG$。
3. 计算线面角：建立空间直角坐标系 $D-xyz$，求出平面 $EFGH$ 的法向量 $\vec{n}$ 与直线 $AB$ 的方向向量 $\overrightarrow{BA}$，利用 $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{BA},\vec{n}⟩|$ 求解。

✅【答案】

点击查看答案

所以平行四边形 $EFGH$ 是矩形。；故直线 $AB$ 与平面 $EFGH$ 夹角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 由三视图还原可知：$AD\perp$ 平面 $BCD$，$BD\perp DC$。 且 $AD=1,BD=2,DC=2$。

因为 $AD\parallel$ 平面 $EFGH$，$AD\subset$ 平面 $ABD$，平面 $ABD\cap$ 平面 $EFGH=EF$， 所以 $AD\parallel EF$。同理可证 $AD\parallel HG$， 故 $EF\parallel HG$。 同理，由 $BC\parallel$ 平面 $EFGH$ 可证得 $EH\parallel BC,FG\parallel BC$， 故 $EH\parallel FG$。 所以四边形 $EFGH$ 是平行四边形。

又因为 $AD\perp$ 平面 $BCD$，$BC\subset$ 平面 $BCD$， 所以 $AD\perp BC$。 由于 $EF\parallel AD,FG\parallel BC$，故 $EF\perp FG$。 所以平行四边形 $EFGH$ 是矩形。

(2) 解： 以 $D$ 为坐标原点，分别以 $DB,DC,DA$ 所在直线为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。

则 $D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0)$。 则 $\overrightarrow{DA}=(0,0,1),\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)$。

由(1)知 $EF\parallel AD,FG\parallel BC$，故平面 $EFGH\parallel$ 平面 $(AD,BC)$ 的方向。 设平面 $EFGH$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{DA}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}z=0\\ -2x+2y=0\end{array}$ 取 $\vec{n}=(1,1,0)$。

又 $\overrightarrow{BA}=(0-2,0-0,1-0)=(-2,0,1)$。 设直线 $AB$ 与平面 $EFGH$ 的夹角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{BA},\vec{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\vec{n}|}$ $\sin \theta =\frac{|-2\times 1+0\times 1+1\times 0|}{\sqrt{(-2{)}^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

故直线 $AB$ 与平面 $EFGH$ 夹角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的性质定理（空间截面问题的关键）。

2. 核心方法：坐标法。对于三视图还原后拥有三条两两垂直棱的几何体，建系是最简便的手段。

3. 避坑指南：求线面角时，公式对应的是 $|\cos ⟨\vec{l},\vec{n}⟩|$，切记不要漏掉绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线面角的范围 $[0,\frac{\pi }{2}]$，法向量的求法。

2. 结论推广: 任意四面体中，平行于两组对棱的截面均为平行四边形。

3. 方法推广: 坐标法。对于三视图还原后拥有三条两两垂直棱的几何体，建系是最简便的手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-10 单-空间几何体的结构特征
• 2014-福建卷文-19 解-立体几何
• 2013-重庆卷理-05 单-空间几何体的三视图与直观图