2014-福建卷理-09 单-圆的标准方程与一般方程

本题导读

本题考查圆与椭圆上动点间距离的最值问题。解题的关键在于利用圆的几何性质将“圆上一点到椭圆上一点的距离”转化为“圆心到椭圆上一点的距离加上圆的半径”，随后通过椭圆方程消元，将距离问题转化为闭区间上二次函数求最值问题。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 设 $P,Q$ 分别为 $x^2+(y-6{)}^2=2$ 和椭圆 $\frac{x^2}{10}+y^2=1$ 上的点，则 $P,Q$ 两点间的最大距离是()

A. $5\sqrt{2}$　　　　　　B. $\sqrt{46}+\sqrt{2}$　　　　　　C. $7+\sqrt{2}$　　　　　　D. $6\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何转化：要求圆上动点 $P$ 与椭圆上动点 $Q$ 的最大距离 $|PQ{|}_{\max }$，根据圆的几何性质可知，当点 $P$ 位于圆心 $C$ 与点 $Q$ 连线的延长线与圆的交点时距离最大，即 $|PQ{|}_{\max }=|CQ{|}_{\max }+r$（$r$ 为圆的半径）。
2. 目标函数构建：设出椭圆上点 $Q$ 的坐标 $(x,y)$，写出圆心 $C$ 到点 $Q$ 的距离的平方 $|CQ{|}^2$ 的表达式。
3. 消元降次：利用点 $Q$ 在椭圆上满足的方程，将 $|CQ{|}^2$ 中的 $x^2$ 替换为关于 $y$ 的表达式，从而将距离的平方转化为关于单一变量 $y$ 的二次函数。
4. 配方求最值：利用配方法求出该二次函数的最大值。特别注意：由于点 $Q$ 在椭圆上，必须关注变量 $y$ 的取值范围（定义域）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析圆的方程与几何转化 由圆的方程 $x^2+(y-6{)}^2=2$ 可知，圆心 $C$ 的坐标为 $(0,6)$，半径 $r=\sqrt{2}$。 设椭圆上一点为 $Q(x,y)$，圆上一点为 $P$。 根据几何意义，$P,Q$ 两点间的最大距离为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径，即 $|PQ{|}_{\max }=|CQ{|}_{\max }+r$。

第二步：构建目标函数并消元 圆心 $C(0,6)$ 到椭圆上点 $Q(x,y)$ 的距离的平方为： $d^2=|CQ{|}^2=x^2+(y-6{)}^2$ 因为点 $Q(x,y)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{10}+y^2=1$ 上， 所以 $x^2=10(1-y^2)=10-10y^2$。同时，由椭圆方程可知 $y$ 的取值范围是 $y\in [-1,1]$。 将 $x^2$ 代入 $d^2$ 的表达式中，得： $d^2=(10-10y^2)+(y^2-12y+36)$ $d^2=-9y^2-12y+46$

第三步：配方求最值 对得到的关于 $y$ 的二次函数进行配方： $d^2=-9(y^2+\frac{4}{3}y)+46$ $d^2=-9(y+\frac{2}{3}{)}^2+9\times \frac{4}{9}+46$ $d^2=-9(y+\frac{2}{3}{)}^2+50$ 因为 $y\in [-1,1]$，对称轴 $y=-\frac{2}{3}$ 落在该区间内。 所以当 $y=-\frac{2}{3}$ 时，$d^2$ 取得最大值 $50$。 即圆心 $C$ 到椭圆上点 $Q$ 的最大距离 $|CQ{|}_{\max }=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。

第四步：求最终结果 因此，$P,Q$ 两点间的最大距离为： $|PQ{|}_{\max }=|CQ{|}_{\max }+r=5\sqrt{2}+\sqrt{2}=6\sqrt{2}$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆与椭圆上动点距离最值

2. 核心方法：将 $|PQ{|}_{\max }$ 转化为 $|CQ{|}_{\max }+r$，消元后配方求二次函数最值

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆上点距离的几何转化与椭圆消元

2. 结论推广: 圆上点到曲线点距离最值＝圆心到曲线点最值＋半径。

3. 方法推广: 可迁移到圆锥曲线与圆上动点距离最值类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2026-新高考II卷-09 多-圆的方程
• 2013-江苏卷-17 解-圆的方程