2022-甲卷文-14 填-圆的方程

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及垂直平分线定理与直线交点。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 设点 $M$ 在直线 $2x+y-1=0$ 上，点 $(3,0)$ 和 $(0,1)$ 均在 $\odot M$ 上，则 $\odot M$ 的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 圆心 $M$ 在两已知点 $A(3,0)$ 与 $B(0,1)$ 的垂直平分线上，先求出线段 $AB$ 的垂直平分线方程。
2. 联立 $M$ 所在的直线方程与垂直平分线方程，求出圆心 $M$ 的坐标。
3. 计算半径 $R=|MA|$，从而写出 $\odot M$ 的标准方程。

✅【答案】

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$(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=5$

✍【详细解析】

Abstract

设 $A(3,0)$, $B(0,1)$。 线段 $AB$ 的中点坐标为 $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$，直线 $AB$ 的斜率为： $k_{AB}=\frac{1-0}{0-3}=-\frac{1}{3}$

故线段 $AB$ 的垂直平分线斜率为 $3$，其方程为： $y-\frac{1}{2}=3\left(x-\frac{3}{2}\right)⟹3x-y-4=0$

因为圆心 $M$ 在直线 $2x+y-1=0$ 和垂直平分线 $3x-y-4=0$ 上，联立方程组： $\{\begin{array}{l}2x+y-1=0\\ 3x-y-4=0\end{array}$

解得： $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}$ 即圆心为 $M(1,-1)$。

半径 $R=|MA|=\sqrt{(3-1{)}^2+(0-(-1){)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。

故 $\odot M$ 的方程为： $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=5$

故答案为：$(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=5$

🎯 【考点归纳与避坑指南】

1. 核心考点：圆的标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ 的几何求法。
2. 核心方法：利用“圆心落在圆上任意弦的垂直平分线上”定位圆心。
3. 避坑指南：计算中点坐标与垂直斜率时注意负号，避免计算失误。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-21 解-椭圆方程与双切线
• 2014-福建卷理-09 单-圆的标准方程与一般方程
• 2015-新课标I卷理-14 填-椭圆性质