2014-福建卷理-20 解-导数单调性与极值

本题导读

本题是导数的综合应用压轴题。第一问通过切线斜率求参数并研究极值；第二问通过构造函数证明基础不等式；第三问考查指数函数与幂函数增长速度的对比，需要通过分类讨论和构造复杂函数来证明存在性。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)=e^x-ax$（$a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 $-1$.

(1) 求 $a$ 的值及函数 $f(x)$ 的极值；

(2) 证明：当 $x>0$ 时，$x^2<e^x$；

(3) 证明：对任意给定的正数 $c$，总存在 $x_0$，使得当 $x\in (x_0,+\infty )$ 时，恒有 $x^2<c{e}^x$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用切线斜率 $f^{\prime }(0)=-1$ 确定 $a$，再通过 $f^{\prime }(x)$ 的零点判断单调性求极值。

2. 第二问：构造函数 $g(x)=e^x-x^2$，求导得 $g^{\prime }(x)=e^x-2x$。利用第一问结论 $e^x-2x$ 的最小值大于 0，证明 $g(x)$ 单调递增。

3. 第三问：对 $c$ 分类讨论。当 $c\ge 1$ 时由(2)直接得出；当 $0<c<1$ 时，通过取对数将不等式转化为 $x-2\ln x-\ln (1/c)>0$，构造新函数利用单调性证明。

✅【答案】

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(1) 求 $a$ 的值及函数 $f(x)$ 的极值；$a=2$；极小值

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $a$ 的值及函数 $f(x)$ 的极值

由 $f(x)=e^x-ax$，得 $f^{\prime }(x)=e^x-a$。

因为曲线在点 $A(0,1)$ 处的切线斜率为 $-1$，

所以 $f^{\prime }(0)=e^0-a=-1$，得 $a=2$。

此时 $f(x)=e^x-2x$，$f^{\prime }(x)=e^x-2$。

令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $x=\ln 2$。

当 $x<\ln 2$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；

当 $x>\ln 2$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。

所以当 $x=\ln 2$ 时，$f(x)$ 取得极小值 $f(\ln 2)=e^{\ln 2}-2\ln 2=2-\ln 4$。无极大值。

(2) 证明：当 $x>0$ 时，$x^2<e^x$

令 $g(x)=e^x-x^2$，则 $g^{\prime }(x)=e^x-2x$。

由(1)知 $g^{\prime }(x)=f(x)$，且 $f(x)$ 的最小值为 $2-\ln 4$。

由于 $\ln 4<\ln e^2=2$，故 $2-\ln 4>0$。

从而 $g^{\prime }(x)>0$ 对 $x\in \mathbb{R}$ 恒成立，即 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

当 $x>0$ 时，$g(x)>g(0)=1>0$，即 $e^x-x^2>0$。

故 $x^2<e^x$。

(3) 证明：对任意正数 $c$，总存在 $x_0$…

① 若 $c\ge 1$，由(2)知当 $x>0$ 时，$x^2<e^x\le c{e}^x$，取 $x_0=0$ 即可。

② 若 $0<c<1$，令 $k=\frac{1}{c}>1$。要证 $x^2<c{e}^x$，即证 $e^x>k{x}^2$。

两边取对数：$x>\ln k+2\ln x$。

令 $h(x)=x-2\ln x-\ln k$，则 $h^{\prime }(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$。

当 $x>2$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增。

由于指数函数增长远快于对数函数，当 $x\to +\infty$ 时，$h(x)\to +\infty$。

取 $x_0=\frac{16}{c}$（或足够大的数），可证 $h(x_0)>0$。

由于 $h(x)$ 在 $(x_0,+\infty )$ 单调递增，故 $h(x)>0$ 恒成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义、单调性与极值，以及指数函数与幂函数增长比较

2. 核心方法：由切线斜率定参求极值，构造函数证 $x^2<e^x$，分类讨论证存在性

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 构造函数证明不等式与恒成立

2. 结论推广: $e^x$ 增长远快于 $x^n$，故 $x^2<c{e}^x$ 在 $x$ 充分大时成立。

3. 方法推广: 可迁移到导数证明不等式、含参恒成立与存在性问题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-19 解-导数单调性与极值
• 2013-浙江卷理-22 解-导数单调性与极值
• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值