2013-浙江卷理-22 解-导数单调性与极值

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值。核心在于导数判定法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 22. 已知 $a\in \mathbf{R}$，函数 $f(x)=x^3-3x^2+3ax-3a+3$.

(1)求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

(2)当 $x\in [0,2]$ 时，求 $|f(x)|$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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• 第一问：计算 $f(1)$ 和 $f^{\prime }(1)$，利用点斜式写出切线方程。
• 第二问：$|f(x)|$ 的最大值取决于 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上的最大值和最小值的绝对值。
  1. 求导分析：$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+3a=3(x-1{)}^2+3(a-1)$。
  2. 分类讨论：
     • 若 $a\ge 1$，$f^{\prime }(x)\ge 0$，$f(x)$ 单调递增。
     • 若 $a\le 0$，$f^{\prime }(x)$ 在区间内部分区域可能为负，需结合区间端点讨论。
     • 若 $0<a<1$，$f^{\prime }(x)=0$ 有两个根 $x_1,x_2$，函数存在极值。
  3. 对比结果：比较 $|f(0)|,|f(2)|$ 以及极值点 $|f(x_1)|,|f(x_2)|$ 的大小。

✅【答案】

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当 $a\ge 1$ 时；当 $a\le 0$ 时；当 $0<a<1$ 时

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由 $f(x)=x^3-3x^2+3ax-3a+3$，得 $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+3a$。 当 $x=1$ 时，$f(1)=1-3+3a-3a+3=1$。 切线斜率 $k=f^{\prime }(1)=3-6+3a=3a-3$。 故切线方程为：$y-1=(3a-3)(x-1)$， 即 $y=(3a-3)x-3a+4$。

（Ⅱ）解： $f^{\prime }(x)=3[(x-1{)}^2+a-1]$。

1. 当 $a\ge 1$ 时，$f^{\prime }(x)\ge 0$，$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递增。 $f(x{)}_{\min }=f(0)=3-3a\le 0$， $f(x{)}_{\max }=f(2)=8-12+6a-3a+3=3a-1>0$。 比较 $|3-3a|$ 与 $|3a-1|$，由于 $3a-3a=0$，可知当 $a\ge 1$ 时 $3a-1\ge 3a-3$ 恒成立（且 $|3-3a|=3a-3$）。 由于 $(3a-1)-(3a-3)=2>0$，故 $|f(x){|}_{\max }=3a-1$。

2. 当 $a\le 0$ 时，在 $[0,2]$ 上，$f^{\prime }(x)$ 的对称轴为 $x=1$。 $f^{\prime }(0)=3a\le 0$，$f^{\prime }(1)=3a-3<0$，$f^{\prime }(2)=3a\le 0$。 故 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递减。 $f(x{)}_{\max }=f(0)=3-3a>0$，$f(x{)}_{\min }=f(2)=3a-1<0$。 比较 $|3-3a|$ 与 $|3a-1|$：$(3-3a)-(1-3a)=2>0$。 故 $|f(x){|}_{\max }=3-3a$。

3. 当 $0<a<1$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0$ 解得 $x_1=1-\sqrt{1-a}$，$x_2=1+\sqrt{1-a}$。 这两点均在 $(0,2)$ 内。$f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 增，$(x_1,x_2)$ 减，$(x_2,2)$ 增。 计算极值：$f(x_1)=1+2(1-a)\sqrt{1-a}>0$，$f(x_2)=1-2(1-a)\sqrt{1-a}$。 通过对比端点值 $f(0)=3-3a$，$f(2)=3a-1$ 和极值：

   • 经过复杂比较（利用构造函数或作差法）：
   • 当 $0<a<\frac{3}{4}$ 时，$|f(x){|}_{\max }=f(x_1)=1+2(1-a)\sqrt{1-a}$。
   • 当 $\frac{3}{4}\le a<1$ 时，$|f(x){|}_{\max }=f(2)=3a-1$。

综上所述： $|f(x){|}_{\max }=\{\begin{array}{ll}3-3a,& a\le 0\\ 1+2(1-a)\sqrt{1-a},& 0<a<\frac{3}{4}\\ 3a-1,& a\ge \frac{3}{4}\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数研究单调性；绝对值函数的最值比较；三次函数的图象特征。

核心方法：分类讨论。压轴题的难点在于参数 $a$ 影响了导数的根，从而改变了函数的波峰波谷位置。

避坑指南：在 $0<a<1$ 的讨论中，不仅要考虑极值，还要考虑极值与端点值的绝对值大小， $f(x_1)$ 与 $f(2)$ 的比较是关键点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的零点存在性定理、三次曲线的中心对称性。

结论推广：见详细解析。

方法推广：面对 $|f(x)|$ 在 $[a,b]$ 上的最值，结论必为 $\max \{|f(x{)}_{\text{极值}}|,|f(a)|,|f(b)|\}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-19 解-导数单调性与极值
• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值
• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性