2014-辽宁卷文-06 单-几何概型

本题导读

概率等于半圆面积与矩形面积之比，注意半圆半径是 $1$。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 若将一个质点随机投入如图所示的长方形 $ABCD$ 中，其中 $AB=2$，$BC=1$，则质点落在以 $AB$ 为直径的半圆内的概率是()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{8}$

🔍【思路分析】

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矩形面积 $=AB\cdot BC=2$；半圆以 $AB$ 为直径，半径 $r=1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

长方形 $ABCD$ 的面积为 $AB\cdot BC=2\times 1=2$。 以 $AB$ 为直径的半圆半径为 $1$，其面积为 $\frac{1}{2}\pi \cdot 1^2=\frac{\pi }{2}$。 由面积型几何概型公式，所求概率为 $P=\frac{\pi /2}{2}=\frac{\pi }{4}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：几何概型（面积比）

2. 核心方法：面积比法

3. 避坑指南：落在「以 $AB$ 为直径的半圆」内，是半圆而不是整圆；漏掉 $\frac{1}{2}$ 会错选 $\frac{\pi }{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 几何概型与平面图形的面积。

2. 结论推广: 面积型几何概型：$P=\frac{S_{\text{有利}}}{S_{\text{总}}}$；$AB=2$ 为直径时半圆半径为 $1$。

3. 方法推广: 几何概型的通法是「先定测度（长度、面积还是体积），再算比值」，两处面积要用同一单位。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-14 填-几何概型
• 2014-湖北卷理-07 单-平面区域的表示