2014-辽宁卷文-22 解-几何证明选讲

本题导读

(1) 只需证 $\angle BDA=90^{\circ }$：由 $PG=PD$ 得 $\angle PGD=\angle PDG$，由弦切角定理得 $\angle PDA=\angle DBA$，又 $A$、$G$、$D$ 共线、$E$、$G$、$P$ 共线，可把角搬到 $Rt△AGF$ 里；(2) 证 $F$ 为 $CE$ 中点后得 $AE=AC=BD$，再由 $HL$ 得 $\angle EAD=90^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） （选修 4-1：几何证明选讲）如图，$EP$ 交圆于 $E$，$C$ 两点，$PD$ 切圆于 $D$，$G$ 为 $CE$ 上一点且 $PG=PD$，连接 $DG$ 并延长交圆于点 $A$，作弦 $AB$ 垂直 $EP$，垂足为 $F$.

(1) 求证：$AB$ 为圆的直径；

(2) 若 $AC=BD$，求证：$AB=ED$.

🔍【思路分析】

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(1) 证圆心在 $AB$ 上，等价于证 $\angle BDA=90^{\circ }$；(2) 先由 $AB$ 是直径且 $AB\perp CE$ 得 $F$ 平分 $CE$，再找直角三角形全等。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $PG=PD$ 知 $△PDG$ 是等腰三角形，故 $\angle PDG=\angle PGD$。 因为 $P$，$G$，$E$ 共线，所以射线 $GE$ 与射线 $GP$ 方向相反；又 $D$，$G$，$A$ 共线且 $G$ 在线段 $DA$ 上，所以射线 $GA$ 与射线 $GD$ 方向相反。于是 $\angle EGA=\angle PGD$。 又 $PD$ 切圆于点 $D$，由弦切角定理 $\angle PDA=\angle DBA$。 因为射线 $DG$ 与射线 $DA$ 同向，所以 $\angle PDA=\angle PDG=\angle PGD=\angle EGA$，从而 $\angle EGA=\angle DBA$。 因为 $AB\perp EP$ 于点 $F$，且 $A$，$F$，$B$ 共线、$G$，$F$，$E$ 共线，所以 $\angle AFG=90^{\circ }$，即 $△AFG$ 是直角三角形，从而 $\angle EGA=\angle FGA=90^{\circ }-\angle GAF$。 又 $G$ 在线段 $DA$ 上，故射线 $AG$ 与射线 $AD$ 同向，$\angle GAF$ 即为射线 $AG$ 与射线 $AB$ 的夹角，即 $\angle GAF=\angle DAB$。 所以 $\angle EGA=90^{\circ }-\angle DAB$，结合 $\angle EGA=\angle DBA$ 得 $\angle DBA=90^{\circ }-\angle DAB$。 在 $△BDA$ 中， $\angle BDA=180^{\circ }-(\angle DBA+\angle DAB)=180^{\circ }-\left(90^{\circ }-\angle DAB\right)-\angle DAB=90^{\circ }$。 所以弦 $BA$ 所对的圆周角为直角，$BA$ 是圆的直径，即 $AB$ 为圆的直径。 (2) 由 (1) 知 $AB$ 是圆的直径，且 $AB\perp EP$。因为 $C$，$F$，$E$ 都在直线 $EP$ 上，所以 $AB\perp CE$ 于点 $F$，即 $F$ 是弦 $CE$ 的垂足。由垂径定理，圆心在直线 $AB$ 上，故 $F$ 是 $CE$ 的中点。 在 $△ACE$ 中，$AF\perp CE$ 且 $F$ 为 $CE$ 中点，所以 $AF$ 是 $CE$ 的垂直平分线，从而 $AE=AC$。 又已知 $AC=BD$，所以 $AE=BD$。 因为 $AB$ 是直径，所以 $\angle AEB=\angle ADB=90^{\circ }$。 在 $Rt△AEB$ 与 $Rt△BDA$ 中，斜边 $AB=BA$ 公共，直角边 $AE=BD$，故 $Rt△AEB\cong Rt△BDA$（$HL$）， 从而 $\angle EAB=\angle DBA$。 又由 $\angle ADB=90^{\circ }$ 知 $\angle DBA+\angle BAD=90^{\circ }$，故 $\angle EAD=\angle EAB+\angle BAD=\angle DBA+\angle BAD=90^{\circ }$。 由圆周角定理的逆定理，$ED$ 是圆的直径，所以 $ED=AB$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的几何证明（弦切角定理与直径的判定）

2. 核心方法：等角替换与全等三角形

3. 避坑指南：(1) 用弦切角定理 $\angle PDA=\angle DBA$、等腰 $△PDG$ 与对顶角把 $\angle EGA$ 搬到 $\angle DBA$，再在 $Rt△AGF$ 中用 $\angle EGA=90^{\circ }-\angle DAB$ 得 $\angle BDA=90^{\circ }$；(2) 由 $F$ 平分 $CE$ 得 $AE=AC=BD$，再用 $HL$ 证 $\angle EAD=90^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的几何证明选讲（选修 4-1）。

2. 结论推广: 弦切角定理：切线与弦所成的角等于该弦所对的圆周角；直径所对的圆周角为直角。

3. 方法推广: 圆中证明线段相等的通行路径：先转化为角相等（圆周角、弦切角），再找两个三角形证明全等。

🔗【关联脉络】

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