2013-江苏卷-21 解-几何证明选讲

本题导读

本题考查几何证明选讲。核心在于比例线段法、逆矩阵公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） （选修 4-1：几何证明选讲） 如图，$AB$ 和 $BC$ 分别与圆 $O$ 相切于点 $D,C$，$AC$ 经过圆心 $O$，且 $BC=2OC$.求证：$AC=2AD$.

（选修 4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 6\end{array}\right]$，求矩阵 $A^{-1}B$. （选修 4-4：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=2t\end{array}$ ($t$ 为参数)，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2{\tan }^2\theta \\ y=2\tan \theta \end{array}$ ($\theta$ 为参数).试求直线 $l$ 和曲线 $C$ 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标. （选修 4-5：不等式选讲） 已知 $a\ge b>0$，求证：$2a^3-b^3\ge 2a{b}^2-a^{2}b$.

🔍【思路分析】

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1. 利用切线性质：连接 $OD$，则 $OD\perp AB$，且 $OC\perp BC$。

2. 利用切线长定理：由于 $BC$ 切圆于 $C$，$AC$ 过圆心，可知 $BC$ 是直角三角形的一条边。

3. 证明相似：通过 $\angle A$ 为公共角及直角关系，证 $△ADO\sim △ACB$。

4. 比例代换：利用 $BC=2OC=2OD$（半径相等）建立线段比例关系。

5. 求逆矩阵：利用公式 $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$ 求出 $A^{-1}$。

6. 矩阵乘法：计算 $A^{-1}$ 与 $B$ 的乘积（注意左乘顺序）。

7. 消参：直线 $l$ 利用代入消元法；曲线 $C$ 利用代换消元法。

8. 联立方程：将直线方程代入曲线方程，解出交点坐标。

9. 作差法：将不等式两边相减，构造式子 $2a^3-b^3-2a{b}^2+a^{2}b$。

10. 因式分解：通过分组分解，寻找含有 $(a-b)$ 的项。

11. 判定符号：利用 $a\ge b>0$ 的条件判定分解后各因式的正负性。

✅【答案】

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（选修 4-1：几何证明选讲）求证 $AC=2AD$。（选修 4-2：矩阵与变换）$A^{-1}B=\left[\begin{array}{cc}-1& -2\\ 0& 3\end{array}\right]$。（选修 4-4：坐标系与参数方程）公共点坐标为 $(2,2)$ 和 $(\frac{1}{2},-1)$。（选修 4-5：不等式选讲）$2a^3-b^3\ge 2a{b}^2-a^{2}b$。证毕

✍【详细解析】

Abstract

证明：连接 $OD$。 因为 $AB,BC$ 是圆 $O$ 的切线，所以 $OD\perp AB,BC\perp AC$。 在 $△ADO$ 和 $△ACB$ 中： $\angle ADO=\angle ACB=90^{\circ }$ $\angle A=\angle A$（公共角） 所以 $△ADO\sim △ACB$。 则有 $\frac{AD}{AC}=\frac{OD}{BC}$。 已知 $BC=2OC$，且 $OC=OD$（均为半径）， 所以 $BC=2OD⟹\frac{OD}{BC}=\frac{1}{2}$。 由 $\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$ 得 $AC=2AD$。证毕。

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📌 B. [选修 4-2：矩阵与变换]

解：因为 $A=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$ 是对角矩阵，其行列式 $|A|=-1\times 2-0\times 0=-2$。 所以 $A^{-1}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$。 则 $A^{-1}B=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1\times 1+0\times 0& -1\times 2+0\times 6\\ 0\times 1+\frac{1}{2}\times 0& 0\times 2+\frac{1}{2}\times 6\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{cc}-1& -2\\ 0& 3\end{array}\right]$。

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📌 C. [选修 4-4：坐标系与参数方程]

解：由直线 $l$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=2t\end{array}$ 得 $t=x-1$， 代入得直线 $l$ 的普通方程：$y=2(x-1)$，即 $2x-y-2=0$。 由曲线 $C$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=2{\tan }^2\theta \\ y=2\tan \theta \end{array}$， 由 $y=2\tan \theta$ 得 $\tan \theta =\frac{y}{2}$， 代入 $x=2(\frac{y}{2}{)}^2=\frac{y^2}{2}$， 得曲线 $C$ 的普通方程：$y^2=2x$。 联立方程组：$\{\begin{array}{l}y=2x-2\\ y^2=2x\end{array}$ 由第一式得 $2x=y+2$，代入第二式得 $y^2=y+2⟹y^2-y-2=0$。 解得 $y_1=2,y_2=-1$。 当 $y=2$ 时，$x=\frac{y^2}{2}=2$；当 $y=-1$ 时，$x=\frac{y^2}{2}=\frac{1}{2}$。 故公共点坐标为 $(2,2)$ 和 $(\frac{1}{2},-1)$。

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📌 D. [选修 4-5：不等式选讲]

证明：作差得 $(2a^3-b^3)-(2a{b}^2-a^{2}b)=2a^3+a^{2}b-2a{b}^2-b^3$。 分组分解： $=(2a^3-2a{b}^2)+(a^{2}b-b^3)$ $=2a(a^2-b^2)+b(a^2-b^2)$ $=(2a+b)(a^2-b^2)$ $=(2a+b)(a+b)(a-b)$。 因为 $a\ge b>0$， 所以 $2a+b>0$，$a+b>0$，$a-b\ge 0$。 从而 $(2a+b)(a+b)(a-b)\ge 0$。 所以 $2a^3-b^3\ge 2a{b}^2-a^{2}b$。证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.07 圆幂定理
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-22 解-几何证明选讲
• 2015-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲
• 2014-辽宁卷文-22 解-几何证明选讲