2014-辽宁卷理-05 单-数量积的性质

本题导读

本题考查向量垂直与平行的传递性判定，并结合逻辑联结词考察复合命题真假性的综合判断。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 设 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 是非零向量，已知命题 $p$：若 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0,\vec{b}\cdot \vec{c}=0$, 则 $\vec{a}\cdot \vec{c}=0$；命题 $q$：若 $\vec{a}//\vec{b},\vec{b}//\vec{c}$, 则 $\vec{a}//\vec{c}$.则下列命题中真命题是()

A. $p\vee q$　　　　B. $p\wedge q$　　　　C. $(\neg p)\wedge (\neg q)$　　　　D. $p\vee (\neg q)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题 $p$ 的真假：判定向量垂直是否具有传递性。在三维空间中寻找反例，观察 $\vec{a}\perp \vec{b}$ 且 $\vec{b}\perp \vec{c}$ 时，$\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的关系。
2. 分析命题 $q$ 的真假：判定非零向量平行是否具有传递性。利用共线向量定理进行理论验证。
3. 复合命题判定：根据 $p,q$ 的真假，结合逻辑联结词“$\vee$（或）”、“$\wedge$（且）”、“$\neg$（非）”的真值表规则，对各选项进行筛选。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定命题 $p$ 的真假 命题 $p$ 叙述的是垂直关系的传递性。 反例：在空间直角坐标系中，令 $\vec{a}=(1,0,0)$，$\vec{b}=(0,1,0)$，$\vec{c}=(1,0,0)$。 此时 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$（即 $\vec{a}\perp \vec{b}$），$\vec{b}\cdot \vec{c}=0$（即 $\vec{b}\perp \vec{c}$）。 但是 $\vec{a}\cdot \vec{c}=1\ne 0$（即 $\vec{a}//\vec{c}$，不垂直）。 事实上，垂直于同一条直线的两条直线不一定互相垂直。 故命题 $p$ 为假命题。

第二步：判定命题 $q$ 的真假 命题 $q$ 叙述的是平行关系的传递性。 已知 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 均为非零向量。 若 $\vec{a}//\vec{b}$，则存在实数 $\lambda \ne 0$，使得 $\vec{a}=\lambda \vec{b}$； 若 $\vec{b}//\vec{c}$，则存在实数 $\mu \ne 0$，使得 $\vec{b}=\mu \vec{c}$； 则 $\vec{a}=\lambda (\mu \vec{c})=(\lambda \mu )\vec{c}$。 因为 $\lambda \mu \ne 0$，所以 $\vec{a}//\vec{c}$。 故命题 $q$ 为真命题。

第三步：判定复合命题

• A 选项：$p\vee q$（假 或 真），结果为真。
• B 选项：$p\wedge q$（假 且 真），结果为假。
• C 选项：$(\neg p)\wedge (\neg q)$（真 且 假），结果为假。
• D 选项：$p\vee (\neg q)$（假 或 假），结果为假。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直与平行的传递性、复合命题真假的判定。

2. 核心方法：构造反例否定垂直传递性，用共线向量定理证明平行传递性。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 共线向量定理（$\vec{a}=\lambda \vec{b}$）。

2. 结论推广: 非零向量平行具有传递性，垂直不具传递性。

3. 方法推广: 判定命题真假时，证明用定义推导，否定用反例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

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