2014-辽宁卷理-08 单-等差数列通项

本题导读

本题考查等差数列与指数函数复合后的单调性问题。核心意图是利用指数函数的单调性，将数列的递减条件转化为等差数列项之间的大小关系，进而确定首项与公差的关系。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，若数列 $\{2^{a_1{a}_n}\}$ 为递减数列，则()

A. $d<0$　　　　B. $d>0$　　　　C. $a_{1}d>0$　　　　D. $a_{1}d<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解递减数列定义：数列 $\{b_n\}$ 递减意味着对于任意 $n\in N_{+}$，都有 $b_n>b_{n+1}$。
2. 转化指数式：利用指数函数 $y=2^x$ 在 $R$ 上单调递增的性质，将 $2^{a_1{a}_n}>2^{a_1{a}_{n+1}}$ 转化为指数部分的大小关系，即 $a_1{a}_n>a_1{a}_{n+1}$。
3. 代入等差数列通项：利用 $a_{n+1}=a_n+d$，展开不等式进行化简，得出关于 $a_1$ 和 $d$ 的约束条件。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据单调性去底数 因为数列 $\{2^{a_1{a}_n}\}$ 为递减数列， 所以对任意 $n\in N_{+}$，有 $2^{a_1{a}_n}>2^{a_1{a}_{n+1}}$。 由于底数 $2>1$，指数函数 $y=2^x$ 在其定义域内单调递增， 故有：$a_1{a}_n>a_1{a}_{n+1}$。

第二步：利用等差数列性质化简 将等差数列关系 $a_{n+1}=a_n+d$ 代入上式： $a_1{a}_n>a_1(a_n+d)$ 展开得： $a_1{a}_n>a_1{a}_n+a_{1}d$

第三步：得出结论 两边同时减去 $a_1{a}_n$，得： $0>a_{1}d$ 即：$a_{1}d<0$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列单调性的判定（$b_n-b_{n+1}>0$），指数函数 $y=a^x$ 的单调性由底数 $a$ 决定。

2. 核心方法：转化思想。将复合结构的单调性问题逐层拆解，转化为最基础的变量关系。

3. 避坑指南：不要盲目认为 $d<0$ 就会导致递减。本题中指数部分是 $a_1{a}_n$，它的变化趋势不仅受 $d$ 影响，还受系数 $a_1$ 正负的影响。只有当 $a_1$ 为正且 $d$ 为负，或者 $a_1$ 为负且 $d$ 为正时，乘积项才会减小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等比数列的单调性、二次函数型数列的最值与单调性。

2. 结论推广: 若数列 $\{c^{f(n)}\}$ 单调： - 当 $c>1$ 时，数列单调性与 $\{f(n)\}$ 一致。 - 当 $0<c<1$ 时，数列单调性与 $\{f(n)\}$ 相反。

3. 方法推广: 面对类似 $f(a_n)$ 的单调性问题，优先考虑函数 $f(x)$ 的导数或单调区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-07 单-等差数列通项
• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项