2014-辽宁卷理-09 单-平移变换

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换以及变换后新函数的单调区间求解。核心意图是考查学生对“左加右减”法则的准确运用以及正弦型函数单调性的计算能力。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 将函数 $y=3\sin (2x+\frac{\pi }{3})$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位长度，所得图象对应的函数()

A. 在区间 $[\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}]$ 上单调递减

B. 在区间 $[\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}]$ 上单调递增

C. 在区间 $[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}]$ 上单调递减

D. 在区间 $[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}]$ 上单调递增

🔍【思路分析】

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1. 平移变换：根据“左加右减”原则，向右平移 $\frac{\pi }{2}$，需将解析式中的 $x$ 替换为 $(x-\frac{\pi }{2})$。
2. 化简解析式：展开并合并常数项，得到新函数 $y=f(x)$。
3. 求单调区间：
   • 设新函数为 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$。
   • 求单调增区间：令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le \omega x+\varphi \le \frac{\pi }{2}+2k\pi$。
   • 求单调减区间：令 $\frac{\pi }{2}+2k\pi \le \omega x+\varphi \le \frac{3\pi }{2}+2k\pi$。
4. 验证选项：将计算出的区间与选项进行比对（通常取 $k=0$ 进行验证）。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求平移后的函数解析式 原函数为 $y=3\sin (2x+\frac{\pi }{3})$。 向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位，所得解析式为： $y=3\sin \left[2(x-\frac{\pi }{2})+\frac{\pi }{3}\right]$ $y=3\sin (2x-\pi +\frac{\pi }{3})$ $y=3\sin (2x-\frac{2\pi }{3})$

第二步：计算新函数的单调递增区间 令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x-\frac{2\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。 各部分同时加上 $\frac{2\pi }{3}$ 得： $\frac{\pi }{6}+2k\pi \le 2x\le \frac{7\pi }{6}+2k\pi$ 同时除以 $2$ 得： $\frac{\pi }{12}+k\pi \le x\le \frac{7\pi }{12}+k\pi$

当 $k=0$ 时，单调递增区间为 $[\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}]$。

第三步：比对选项 观察计算结果，发现区间 $[\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}]$ 正好对应选项 B。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数图象变换。注意向右平移是对变量 $x$ 减去位移量，而不是对整个初相进行加减。

2. 核心方法：整体换元法。求 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的性质时，将 $\omega x+\varphi$ 看作一个整体，利用基础正弦函数的性质进行解不等式。

3. 避坑指南：平移时容易写成 $y=3\sin (2x+\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2})$，这是错误的。平移量必须作用在 $x$ 身上，即 $2(x-\frac{\pi }{2})$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正弦型函数的对称中心、对称轴方程的求法。

2. 结论推广: 若函数向左平移 $h$，则 $x\to x+h$；若向上平移 $k$，则 $y\to y-k$（或在右端加 $k$）。

3. 方法推广: 周期性问题的单调性，先求出一个主区间，再加周期 $kT$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)