2014-辽宁卷文-11 单-三角函数平移

本题导读

先写出平移后的解析式，再把所给区间整体代入相位，判断落在哪个单调区间内。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 将函数 $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位长度，所得图象对应的函数()

A. 在区间 $\left[\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}\right]$ 上单调递减　B. 在区间 $\left[\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}\right]$ 上单调递增

C. 在区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$ 上单调递减　　D. 在区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$ 上单调递增

🔍【思路分析】

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平移后解析式为 $y=3\sin \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)$，令 $u=2x-\frac{2\pi }{3}$，看 $u$ 的范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将 $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位长度，得 $y=3\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)+\frac{\pi }{3}\right]=3\sin \left(2x-\frac{2\pi }{3}\right)$。 当 $x\in \left[\frac{\pi }{12},\frac{7\pi }{12}\right]$ 时，$u=2x-\frac{2\pi }{3}\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$。 因为 $y=3\sin u$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增，所以所得函数在该区间上单调递增，A 错 B 对。 当 $x\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$ 时，$u=2x-\frac{2\pi }{3}\in \left[-\pi ,0\right]$，而 $y=3\sin u$ 在 $\left[-\pi ,0\right]$ 上不单调，C、D 均错。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的图象平移与单调性

2. 核心方法：相位整体变换（提系数平移）

3. 避坑指南：平移量要「提系数」：应写成 $y=3\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)+\frac{\pi }{3}\right]$，不能直接减 $\frac{\pi }{2}$，否则平移量会多算一倍。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数的图象变换与单调区间。

2. 结论推广: $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 向右平移 $h$ 个单位得 $y=A\sin \left[\omega (x-h)+\phi \right]$。

3. 方法推广: 求单调区间先化出「相位区间」，再看它是否落在 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$ 内。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-09 单-平移变换
• 2014-北京卷理-14 填-正弦型函数的对称性