2014-辽宁卷理-12 单-抽象函数与性质

本题导读

本题考查抽象函数的性质及绝对值不等式的综合运用。题目通过 Lipschitz 连续条件的变体给出了函数波动的限制，要求寻找函数值域跨度的上确界。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 已知定义在 $[0,1]$ 上的函数 $f(x)$ 满足：

① $f(0)=f(1)=0$；

② 对所有 $x,y\in [0,1]$，且 $x\ne y$，有 $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{2}|x-y|$. 若对所有 $x,y\in [0,1]$，$|f(x)-f(y)|<k$，则 $k$ 的最小值为()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2\pi }$　　　　　　　D. $\frac{1}{8}$

🔍【思路分析】

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1. 直观理解条件：条件 ② 限制了函数图象上任意两点连线的斜率绝对值小于 $\frac{1}{2}$。结合条件 ① 函数“从零开始，回到零”，可以联想到函数图象被限制在一个特定的范围内。
2. 寻求最大波动：为了求 $k$ 的最小值（即求 $|f(x)-f(y)|$ 的上界），我们需要找到函数值偏离 $0$ 最远的情况。
3. 构造法：考虑函数在 $x=\frac{1}{2}$ 处取得极值的情况。根据斜率限制，从 $(0,0)$ 到 $(1/2,f(1/2))$ 的平均斜率小于 $1/2$，则 $f(1/2)<\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
4. 严格证明：利用绝对值三角不等式，将 $|f(x)-f(y)|$ 与边界值 $f(0),f(1)$ 联系起来。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析 $|f(x)|$ 的上界 对于任意 $x\in [0,1]$： 由条件 ② 及 $f(0)=0$ 得：$|f(x)-f(0)|<\frac{1}{2}|x-0|⟹|f(x)|<\frac{1}{2}x$。 由条件 ② 及 $f(1)=0$ 得：$|f(x)-f(1)|<\frac{1}{2}|x-1|⟹|f(x)|<\frac{1}{2}(1-x)$。 因此，$|f(x)|<\min \left\{\frac{1}{2}x,\frac{1}{2}(1-x)\right\}$。 该范围的最大值在 $x=\frac{1}{2}$ 时取得，即 $|f(x)|<\frac{1}{4}$。

第二步：证明 $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{4}$ 不妨设 $0\le x<y\le 1$。 情况 1： 若 $y-x\le \frac{1}{2}$。 直接由条件 ② 得：$|f(x)-f(y)|<\frac{1}{2}|x-y|\le \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。 情况 2： 若 $y-x>\frac{1}{2}$。 利用三角不等式： $|f(x)-f(y)|=|[f(x)-f(0)]-[f(y)-f(1)]|$ $\le |f(x)-f(0)|+|f(y)-f(1)|$ $<\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}(1-y)=\frac{1}{2}(1-(y-x))$ 因为 $y-x>\frac{1}{2}$，所以 $1-(y-x)<\frac{1}{2}$。 从而 $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。 综上所述，对于任意 $x,y\in [0,1]$，恒有 $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{4}$。

第三步：确定 $k$ 的最小值 由于 $|f(x)-f(y)|<\frac{1}{4}$ 恒成立，且可以构造函数使得其波动无限趋近于 $\frac{1}{4}$（如斜率无限接近 $1/2$ 的折线函数）， 所以 $k$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数的不等式推导。

2. 核心方法：分段讨论与边界缩放。本题的精髓在于利用 $f(0)$ 和 $f(1)$ 两个对称的边界点来限制函数的中部波动。

3. 避坑指南：容易只考虑 $|f(x)-f(y)|<1/2\cdot 1=1/2$ 而误选 A。必须结合 $f(0)=f(1)=0$ 这个“闭合”条件，函数必须“回来”，这就限制了它不能跑得太远。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: Lipschitz 条件、中值定理的变体应用。

2. 结论推广: 若 $|f^{\prime }(x)|<M$ 且 $f(0)=f(L)=0$，则 $|f(x)|<\frac{ML}{4}$。

3. 方法推广: 绝对值不等式 $|a-b|\le |a-c|+|c-b|$ 是处理抽象函数差值最常用的工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-08 单-函数性质
• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2025-北京卷-15 填-函数性质