2026-新高考II卷-08 单-函数性质

本题导读

本题考查抽象函数的性质综合应用。核心意图在于测试学生利用函数的奇偶性关系与给定的递推关系式 $f(x)+f(x-2)=0$ 导出函数的周期性与对称轴，进而利用特殊值联立方程组，精确求解二次函数区间解析式中的待定系数。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）已知 $f(x)$ 为定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数， $f(x)+f(x-2)=0$ ，且当 $x\in \left[\frac{3}{2},3\right]$ 时， $f(x)=x^2+ax+b$ ，则()

A. $a=-2,b=-3$　　　　　　　　　　　　　　B. $a=-2,b=3$

C. $a=-4,b=-3$　　　　　　　　　　　　　　D. $a=-4,b=3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（推导周期与对称性）：

• 由 $f(x)+f(x-2)=0⟹f(x)=-f(x-2)$。
• 步长向右延伸两次： $f(x+2)=-f(x)=-[-f(x-2)]=f(x-2)$，说明函数满足周期性，其一个周期为 $T=4$。
• 结合偶函数性质 $f(-x)=f(x)$，利用 $f(x)=-f(x-2)⟹f(-x)=-f(x-2)$。可进一步推导出函数的对称轴或特殊对称点信息。

2. 第二步逻辑（寻找特殊值关键点）：

• 为了确定区间 $\left[\frac{3}{2},3\right]$ 上的二次函数系数 $a$ 和 $b$，首选寻找该区间边界或内部特殊点（如 $x=2$ 或 $x=3$）的函数值。
• 利用 $f(x)=-f(x-2)$，令 $x=1⟹f(1)=-f(-1)$。由于 $f(x)$ 是偶函数 $⟹f(-1)=f(1)$，代入得 $f(1)=-f(1)⟹f(1)=0$。
• 再利用周期性或递推式，将已知零点转化到二次函数的定义域 $\left[\frac{3}{2},3\right]$ 内。例如： $f(3)=-f(1)=0$。
• 同理，由 $f(x)=-f(x-2)$，令 $x=2⟹f(2)=-f(0)$。而由于 $f(x)=-f(x-2)=-f(2-x)$ （利用偶函数），说明 $x=1$ 是函数的一个对称中心，且可导出关于 $f(2)$ 与 $f(0)$ 的关系。

3. 第三步逻辑（联立求解待定系数）：

• 考虑更为便捷的整体对称性：由 $f(x)=-f(x-2)$ 及 $f(-x)=f(x)$ 可知： $f(2-x)=f(x-2)=-f(x)$ 这意味着 $f(x)$ 关于点 $(1,0)$ 中心对称。 再结合偶函数关于 $y$ 轴对称，可得 $f(x)=f(-x)=-f(2+x)=f(4+x)$ （周期为4）。 从而可以得到： $f(2+x)=f(2-x)$，说明直线 $x=2$ 是该函数的一条对称轴！
• 既然 $x=2$ 是二次函数 $f(x)=x^2+ax+b$ 所在区间内的对称轴，根据二次函数的顶点公式，其对称轴为 $x=-\frac{a}{2}=2⟹a=-4$。
• 再将前面求得的零点 $f(3)=0$ 代入解析式，求出 $b$ 的值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，所以恒有： $f(-x)=f(x)$,(1) 又因为满足$f(x)+f(x-2)=0$，得： $f(x)=-f(x-2)$, (2)

在方程 (2) 中，用 $-x$ 替换 $x$，并结合方程 (1) 的偶函数性质： $f(-x)=-f(-x-2)⟹f(x)=-f(x+2)$ , (3)

由方程 (2) 和 (3) 联立可知： $-f(x-2)=-f(x+2)⟹f(x-2)=f(x+2)$ 用 $x+2$ 替换式中的 $x$，得 $f(x)=f(x+4)$。这说明函数 $f(x)$ 是一个以 $4$ 为周期的周期函数。

下面求解关键点的函数值： 在方程 (3) 中，令 $x=-1$，得： $f(-1)=-f(1)$ 因为 $f(x)$ 是偶函数，所以 $f(-1)=f(1)$。代入上式： $f(1)=-f(1)⟹2f(1)=0⟹f(1)=0$

再利用方程 (3) ，令 $x=1$： $f(1)=-f(3)⟹0=-f(3)⟹f(3)=0$ 所以 $f(3)=0$。

由方程 (2)可得： $f(x+2)=-f(x)$。 利用偶函数性质，将右侧的 $x$ 变为 $-x$： $f(x+2)=-f(-x)$ 再利用方程 (2) 的结构， $-f(-x)=f(-x-2)=f(x+2)$， 由 $f(x)=-f(x-2)$，将 $x$ 替换为 $2-x$： $f(2-x)=-f(2-x-2)=-f(-x)$ 因为 $f(-x)=f(x)$，所以： $f(2-x)=-f(x)$ 同时，由 $f(2+x)=-f(2+x-2)=-f(x)$。 对比上述两式： $f(2-x)=f(2+x)$ 该等式表明直线 $x=2$ 是函数 $f(x)$ 的一条对称轴。

因为当 $x\in \left[\frac{3}{2},3\right]$ 时， $f(x)=x^2+ax+b$ 是一段连续的二次函数图象，且对称轴 $x=2$ 恰好落在该区间内部。 根据二次函数 $y=x^2+ax+b$ 的对称轴公式： $x=-\frac{a}{2\times 1}=2⟹-a=4⟹a=-4$

则此时二次函数的解析式可简化为： $f(x)=x^2-4x+b$ 将$f(3)=0$ 代入该解析式中： $f(3)=3^2-4\times 3+b=0$ $9-12+b=0⟹-3+b=0⟹b=3$

综上所述，待定系数的值分别为： $a=-4,b=3$。

正确答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由自变量负号变换导出的函数周期性与对称轴公式；二次函数顶点的代数特征。
2. 核心方法：特殊值代入法、对称轴分析法。
3. 避坑指南：

• 对称中心与对称轴混淆陷阱：部分学生在化简 $f(x)=-f(x-2)$ 时，容易盲目判定 $x=1$ 是对称轴从而得出 $a=-2$，这就误入了 A 或 B 选项的陷阱。牢记： $f(x)=-f(2-x)$ 形式代表点 $(1,0)$ 是对称中心，而加上偶函数双重镜面反射后，在 $x=2$ 处才会产生纯粹的轴对称 $\left(f(2-x)=f(2+x)\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是 2026 年全国II卷选择题的压轴题（第 8 题），考查抽象函数的周期与对称双重波动模型，属于对逻辑推理基本功要求极高的难度题。
2. 结论推广： 对于所有满足偶函数性质且带有反向平移器 $f(x)+f(x-2m)=0(m>0)$ 的复合抽象函数：

• 该函数是一个绝对以 $T=4m$ 为周期的正弦型交错波动函数；
• 它的所有整数倍轴向位置 $x=2k\cdot m(k\in \mathbf{Z})$ 均是该函数的严格几何对称轴；
• 它的所有奇数倍轴向位置 $x=(2k+1)\cdot m(k\in \mathbf{Z})$ 均是该函数的严格零点对称中心。 在本题中 $2m=2⟹m=1$。 由此直接秒杀：对称轴为 $x=2m=2$，零点包含 $x=m=1$ 和 $x=3m=3$。 应用此大招结论，可直接口算写出二次函数特征：对称轴 $-\frac{a}{2}=2⟹a=-4$，过点 $(3,0)⟹9-12+b=0⟹b=3$。5 秒内即可跨越全部抽象推导，直接锁定正确答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 1996-全国卷理-15
• 2003-江苏卷-18