2014-辽宁卷理-14 填-几何概型

本题导读

本题通过几何概型考查定积分的实际应用。核心意图是利用定积分计算由抛物线围成的曲边阴影区域面积，并结合正方形面积求出概率。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 正方形的四个顶点 $A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)$ 分别在抛物线 $y=-x^2$ 和 $y=x^2$ 上，如图所示.若将一个质点随机投入正方形 $ABCD$ 中，则质点落在阴影区域的概率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 明确几何概型公式：$P=\frac{S_{\text{阴影}}}{S_{\text{正方形}}}$。
2. 计算正方形面积：根据顶点坐标确定边长，计算总面积。
3. 计算阴影面积：
   • 观察图形对称性：阴影部分关于 $x$ 轴对称。
   • 上半部分面积由直线 $y=1$ 与抛物线 $y=x^2$ 围成。
   • 利用定积分 ${\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$ 计算单侧面积，再翻倍得到总阴影面积。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算正方形 $ABCD$ 的面积 由点 $A(-1,-1)$，$B(1,-1)$ 可知边长为 $2$。 则正方形面积 $S_{\text{正方形}}=2\times 2=4$。

第二步：计算阴影区域面积 $S_{\text{阴影}}$ 根据对称性，阴影面积等于 $x$ 轴上方阴影面积的 $2$ 倍。 上半部分阴影是由直线 $y=1$ 与抛物线 $y=x^2$ 在区间 $[-1,1]$ 上围成的图形。 上半部分面积 $S_{\text{上}}$ 为： $S_{\text{上}}={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx=\left(x-\frac{1}{3}{x}^3\right){|}_{-1}^1$ $S_{\text{上}}=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1-\frac{1}{3}(-1{)}^3\right)=\frac{2}{3}-(-\frac{2}{3})=\frac{4}{3}$ 所以，总阴影面积为 $S_{\text{阴影}}=2\times \frac{4}{3}=\frac{8}{3}$。

第三步：计算概率 根据几何概型概率公式： $P=\frac{S_{\text{阴影}}}{S_{\text{正方形}}}=\frac{\frac{8}{3}}{4}=\frac{2}{3}$

故答案为 $\frac{2}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：几何概型与定积分的几何意义（曲边图形面积）。

2. 核心方法：利用对称性简化积分运算。本题中阴影部分关于 $x$ 轴和 $y$ 轴均对称，甚至可以只计算第一象限的面积再乘以 $4$。

3. 避坑指南：求积分时，要注意“上曲线减去下曲线”。本题中上半部分是直线 $y=1$ 在上，抛物线 $y=x^2$ 在下，即积分函数为 $1-x^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 牛顿-莱布尼茨公式、奇偶函数在对称区间上的积分性质。

2. 结论推广: 抛物线 $y=a{x}^2$ 与直线 $y=h$ 围成的面积与其外接矩形面积的比值恒为 $\frac{2}{3}$。

3. 方法推广: 面对复杂的封闭图形面积，寻找解析式并建立积分表达式是万能手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-12 单-几何概型
• 2015-福建卷文-08 单-几何概型
• 2015-湖北卷文-08 单-几何概型