2014-辽宁卷理-23 解-伸缩变换

本题导读

本题考查图形的伸缩变换、参数方程的建立以及极坐标方程的求解。第一问通过坐标变换得到椭圆方程并转化为参数式；第二问通过中点坐标和垂直斜率关系确定直线，并将其转化为极坐标形式。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） （选修 4-4：坐标系与参数方程）将圆 $x^2+y^2=1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 $2$ 倍，得曲线 $C$.

(1) 写出 $C$ 的参数方程；

(2) 设直线 $l:2x+y-2=0$ 与 $C$ 的交点为 $P_1,P_2$，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 $P_1{P}_2$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：坐标变换与参数方程
   • 设圆上点为 $(x_0,y_0)$，曲线 $C$ 上点为 $(x,y)$。
   • 根据变换关系：$x=x_0,y=2y_0$。
   • 代入圆方程得到 $C$ 的标准方程（椭圆），再根据椭圆参数方程的形式进行表示。
2. 第二问：求垂线的极坐标方程
   • 求交点与中点：联立直线 $l$ 与曲线 $C$ 的方程，求出 $P_1,P_2$ 的直角坐标，进而求出中点 $M$。
   • 确定直线斜率：已知 $l$ 的斜率，利用垂直关系 $k_1{k}_2=-1$ 求出目标直线的斜率。
   • 写出直角坐标方程：利用点斜式写出直线方程并化简。
   • 转化为极坐标：代入 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 整理得到答案。

✅【答案】

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故所求极坐标方程为：$\rho =\frac{3}{4\sin \theta -2\cos \theta }$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 设曲线 $C$ 上任意一点的坐标为 $(x,y)$，对应圆 $x^2+y^2=1$ 上的点为 $(x_1,y_1)$。 依题意得：$\{\begin{array}{l}x=x_1\\ y=2y_1\end{array}$，即 $\{\begin{array}{l}{x}_1=x\\ y_1=\frac{y}{2}\end{array}$。 将 $x_1,y_1$ 代入圆方程得：$x^2+(\frac{y}{2}{)}^2=1$，即 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$。 由此可知曲线 $C$ 为椭圆，其参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=\cos t\\ y=2\sin t\end{array}$ ($t$ 为参数)。

(2) 解： 联立直线与曲线方程： $\{\begin{array}{l}{x}^2+\frac{y^2}{4}=1\\ 2x+y-2=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}y=2-2x\\ 4x^2+(2-2x{)}^2=4\end{array}⟹8x^2-8x=0$。 解得 $x=0$ 或 $x=1$。 对应的交点坐标为 $P_1(1,0),P_2(0,2)$。 则线段 $P_1{P}_2$ 的中点坐标为 $M(\frac{1}{2},1)$。

因为直线 $l$ 的斜率为 $-2$，所以与其垂直的直线斜率为 $k=\frac{1}{2}$。 所求直线的直角坐标方程为：$y-1=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})$。 整理得：$x-2y+\frac{3}{2}=0$，即 $2x-4y+3=0$。

代入极坐标互化公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$： $2\rho \cos \theta -4\rho \sin \theta +3=0$ $\rho (4\sin \theta -2\cos \theta )=3$ 故所求极坐标方程为：$\rho =\frac{3}{4\sin \theta -2\cos \theta }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：伸缩变换（坐标变换）、极坐标与直角坐标互化。

2. 核心方法：代入法。坐标变换问题通过“老坐标表示新坐标”代入已知曲线方程是最稳妥的方法。

3. 避坑指南：伸缩变换中纵坐标变为 $2$ 倍，意味着 $y=2y_0$，在反代入时是 $\frac{y}{2}$，初学者常犯扩大的错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直线的极坐标标准形式 $\rho \sin (\theta -\alpha )=d$。

2. 结论推广: 圆 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$ 经过横向 $k_1$ 纵向 $k_2$ 的伸缩后，变为 $\{\begin{array}{l}x=k_{1}r\cos \theta \\ y=k_{2}r\sin \theta \end{array}$。

3. 方法推广: 代入法。坐标变换问题通过“老坐标表示新坐标”代入已知曲线方程是最稳妥的方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2025-北京卷-04 单-指数函数伸缩变换