2014-重庆卷文-09 单-对数最值

本题导读

化同底得 $3a+4b=ab$，除以 $ab$ 得 $\frac{3}{b}+\frac{4}{a}=1$，再乘 $a+b$ 展开。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 若 ${\log }_4(3a+4b)={\log }_2\sqrt{ab}$，则 $a+b$ 的最小值是()

A. $6+2\sqrt{3}$　　　　　B. $7+2\sqrt{3}$　　　　　C. $6+4\sqrt{3}$　　　　　D. $7+4\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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$3a+4b=ab$ 两边除以 $ab$，凑出"$\frac{3}{b}+\frac{4}{a}=1$"后整体代换。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由换底公式 ${\log }_4(3a+4b)=\frac{1}{2}{\log }_2(3a+4b)$，${\log }_2\sqrt{ab}=\frac{1}{2}{\log }_2(ab)$， 故 ${\log }_2(3a+4b)={\log }_2(ab)$，即 $3a+4b=ab$（$a$，$b>0$）。 两边同除以 $ab$ 得 $\frac{3}{b}+\frac{4}{a}=1$。 于是 $a+b=(a+b)\left(\frac{3}{b}+\frac{4}{a}\right)=\frac{3a}{b}+4+3+\frac{4b}{a}=7+\frac{3a}{b}+\frac{4b}{a}$ $⩾7+2\sqrt{\frac{3a}{b}\cdot \frac{4b}{a}}=7+4\sqrt{3}$， 当且仅当 $\frac{3a}{b}=\frac{4b}{a}$，即 $3a^2=4b^2$ 时取等号。 故 $a+b$ 的最小值为 $7+4\sqrt{3}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数的运算与基本不等式

2. 核心方法：化同底 + "$1$"的代换

3. 避坑指南：${\log }_{4}x=\frac{1}{2}{\log }_{2}x$、${\log }_2\sqrt{ab}=\frac{1}{2}{\log }_2(ab)$，两个"$\frac{1}{2}$"都别丢；取等条件是 $3a^2=4b^2$，勿写成 $3a=4b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 对数运算、基本不等式求最值。

2. 结论推广: $\frac{3}{b}+\frac{4}{a}=1$ 时，$a+b=(a+b)\left(\frac{3}{b}+\frac{4}{a}\right)=7+\frac{3a}{b}+\frac{4b}{a}⩾7+4\sqrt{3}$。

3. 方法推广: “已知 $pa+qb=ab$ 型条件求 $a+b$ 最小值”：先除以 $ab$ 化为倒数和为 $1$，再乘 $a+b$ 展开用基本不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2015-重庆卷文-14 填-基本不等式
• 2015-天津卷文-12 填-对数最值