2014-重庆卷文-14 填-直线与圆

本题导读

配方得圆心 $C(-1,2)$、半径 $3$；$AC\perp BC$ 给出等腰直角三角形，弦心距 $=\frac{3}{\sqrt{2}}$，再列点线距离。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 已知直线 $x-y+a=0$ 与圆心为 $C$ 的圆 $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ 相交于 $A$，$B$ 两点，且 $AC\perp BC$，则实数 $a$ 的值为　　　.

🔍【思路分析】

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圆化为 $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$；由 $△ABC$ 等腰直角得 $d=\frac{r}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$。

✅【答案】

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$0$ 或 $6$

✍【详细解析】

Abstract

圆的方程配方：$(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$，圆心 $C(-1,2)$，半径 $r=3$。 由 $AC\perp BC$ 且 $|AC|=|BC|=3$，$△ABC$ 是等腰直角三角形，故圆心到弦 $AB$ 的距离 $d=\sqrt{r^2-{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2}=\sqrt{9-\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$。 由点到直线的距离公式，$d=\frac{|-1-2+a|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a-3|}{\sqrt{2}}$。 由 $\frac{|a-3|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$ 得 $|a-3|=3$，即 $a=0$ 或 $a=6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆的位置关系

2. 核心方法：几何法（等腰直角三角形中弦心距为 $r/\sqrt{2}$）

3. 避坑指南：直线 $x-y+a=0$ 中一次项系数是 $A=1$、$B=-1$，距离公式分母为 $\sqrt{2}$；解出 $|a-3|=3$ 后有两个解，勿只写一个。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的标准方程、直线与圆相交的弦长问题。

2. 结论推广: $AC\perp BC$ 且 $|AC|=|BC|=r$ 时，$△ABC$ 为等腰直角三角形，弦心距 $d=\frac{r}{\sqrt{2}}$。

3. 方法推广: 圆的弦问题优先几何法：圆心、半径、弦心距构成直角三角形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-重庆卷文-12 填-圆的方程
• 2014-安徽卷文-06 单-直线与圆