2014-重庆卷文-16 解-等差等比数列

本题导读

(1) 直接代通项与求和公式；(2) 先由 (1) 算出 $a_4$、$S_4$ 代入方程解出 $q$。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$，公差为 $2$ 的等差数列，$S_n$ 表示 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.

(1) 求 $a_n$ 及 $S_n$；

(2) 设 $\{b_n\}$ 是首项为 $2$ 的等比数列，公比 $q$ 满足 $q^2-(a_4+1)q+S_4=0$，求 $\{b_n\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

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(1) $a_n=1+2(n-1)$，$S_n$ 用求和公式；(2) $a_4=7$，$S_4=16$，方程为 $q^2-8q+16=0$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2n-1$，$S_n=n^2$；(2) $b_n=2\cdot 4^{n-1}$，$T_n=\frac{2}{3}(4^n-1)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$。 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2$。 (2) $a_4=2\times 4-1=7$，$S_4=4^2=16$，于是 $q^2-8q+16=0$，即 $(q-4{)}^2=0$，解得 $q=4$。 故 $b_n=b_1{q}^{n-1}=2\times 4^{n-1}$， $T_n=\frac{2(1-4^n)}{1-4}=\frac{2}{3}(4^n-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差、等比数列的通项与求和

2. 核心方法：基本量法

3. 避坑指南：$q^2-8q+16=(q-4{)}^2$ 是完全平方式、二重根 $q=4$，勿误判成 $q=2$；求和公式中 $q=4>1$，$\frac{2(1-4^n)}{1-4}$ 的符号处理要细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列与等比数列的基本量运算。

2. 结论推广: $a_n=a_1+(n-1)d$，$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$；$T_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\ne 1$）。

3. 方法推广: 数列第 (2) 问依赖第 (1) 问时，先明确写出 $a_4$、$S_4$ 等具体数值再代入。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2015-重庆卷文-16 解-等差数列
• 2014-新课标I卷文-17 解-等差数列错位相减