2014-重庆卷文-20 解-线面垂直与体积

本题导读

(1) 算出 $OB=1$、$OM=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由 $O{M}^2+B{M}^2=O{B}^2$ 得 $OM\perp BC$，再加 $PO\perp$ 底面；(2) 设 $PO=a$，用 $MP\perp AP$ 列勾股方程。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形，$PO\perp$ 底面 $ABCD$，$AB=2$，$\angle BAD=\frac{\pi }{3}$，$M$ 为 $BC$ 上一点，且 $BM=\frac{1}{2}$.

(1) 证明：$BC\perp$ 平面 $POM$；

(2) 若 $MP\perp AP$，求四棱锥 $P-ABMO$ 的体积.

🔍【思路分析】

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(1) $OB=\frac{1}{2}BD=1$，$\angle OBC=60^{\circ }$，余弦定理算 $OM$ 后用勾股逆定理；(2) $OA=\sqrt{3}$，$A{M}^2=\frac{21}{4}$，$P{O}^2=\frac{3}{4}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2) $\frac{5}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 连接 $OB$。菱形对角线互相垂直平分，且 $BD$ 平分 $\angle ABC$。 由 $\angle BAD=60^{\circ }$ 得 $\angle ABC=120^{\circ }$，故 $\angle OBC=60^{\circ }$；且 $OB=\frac{1}{2}BD=AB\sin 30^{\circ }=1$。 在 $△OBM$ 中，$BM=\frac{1}{2}$，由余弦定理 $O{M}^2=O{B}^2+B{M}^2-2OB\cdot BM\cos 60^{\circ }=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$，$OM=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 于是 $O{M}^2+B{M}^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1=O{B}^2$，故 $\angle OMB=90^{\circ }$，即 $OM\perp BC$。 又 $PO\perp$ 底面 $ABCD$，$BC\subset$ 底面 $ABCD$，故 $PO\perp BC$。 而 $PO\cap OM=O$，$PO$，$OM\subset$ 平面 $POM$，所以 $BC\perp$ 平面 $POM$。 (2) $AC=2AB\cos 30^{\circ }=2\sqrt{3}$，故 $OA=\sqrt{3}$。 在 $△ABM$ 中，$\angle ABM=120^{\circ }$，由余弦定理 $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2AB\cdot BM\cos 120^{\circ }=4+\frac{1}{4}+1=\frac{21}{4}$。 设 $PO=a$。由 $PO\perp$ 底面得 $P{A}^2=O{A}^2+a^2=3+a^2$，$P{M}^2=O{M}^2+a^2=\frac{3}{4}+a^2$。 由 $MP\perp AP$ 得 $P{A}^2+P{M}^2=A{M}^2$，即 $3+a^2+\frac{3}{4}+a^2=\frac{21}{4}$，解得 $a^2=\frac{3}{4}$，$PO=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 底面四边形 $ABMO$ 的面积 $S=S_{△AOB}+S_{△BOM}=\frac{1}{2}OA\cdot OB+\frac{1}{2}BM\cdot OM=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{5\sqrt{3}}{8}$ （分别用到 $OA\perp OB$ 与 (1) 中 $OM\perp BC$）。 故 $V=\frac{1}{3}S\cdot PO=\frac{1}{3}\times \frac{5\sqrt{3}}{8}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的判定与棱锥的体积

2. 核心方法：勾股逆定理证线线垂直、设参数列勾股方程定高

3. 避坑指南：$\angle OBC=60^{\circ }$ 的来源是”对角线平分 $\angle ABC=120^{\circ }$“，勿误取 $30^{\circ }$；$S_{△AOB}$ 用 $OA\perp OB$（对角线互相垂直），$S_{△BOM}$ 用 (1) 的结论，两块面积分母不同别合并出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直线与平面垂直的判定、棱锥的体积。

2. 结论推广: $\mathrm{Rt}△AOB$ 中 $OB=AB\sin \frac{\angle BAD}{2}=1$，$OA=AB\cos \frac{\angle BAD}{2}=\sqrt{3}$；$PO\perp$ 底面给出 $P{A}^2=O{A}^2+P{O}^2$、$P{M}^2=O{M}^2+P{O}^2$。

3. 方法推广: 顶点在底面中心的锥体问题，先算底面内相关线段长，再用 $MP\perp AP$ 这类垂直条件列 $P{A}^2+P{M}^2=A{M}^2$ 方程定高。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-重庆卷文-20 解-面面垂直
• 2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高