2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高

本题导读

(1) 菱形对角线 $B_{1} C ⊥ B C_{1}$ 加 $A O ⊥$ 平面得 $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B O$ ；(2) 先由 $A C ⊥ A B_{1}$ 得 $A O = \frac{1}{2}$ ，再以 $O$ 为原点建系，求 $A_{1}$ 到平面 $A B C$ 的距离 $\frac{21}{7}$ ——注意 $A O$ 不是棱柱的高。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)）如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $B_{1} C$ 的中点为 $O$ ，且 $A O ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

(1) 证明： $B_{1} C ⊥ A B$ ；

(2) 若 $A C ⊥ A B_{1}$ ， $∠ C B B_{1} = 6 0^{\circ}$ ， $B C = 1$ ，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高.

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(1) 菱形对角线 $B_{1} C ⊥ B C_{1}$ 加 $A O ⊥$ 平面得 $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B O$ ；(2) 先由 $A C ⊥ A B_{1}$ 得 $A O = \frac{1}{2}$ ，再以 $O$ 为原点建系，求 $A_{1}$ 到平面 $A B C$ 的距离 $\frac{21}{7}$ ——注意 $A O$ 不是棱柱的高。

✅【答案】

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(1) 见解析 (2) 三棱柱的高为 $\frac{21}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 连接 $B C_{1}$ 。菱形对角线互相平分， $O$ 也是 $B C_{1}$ 的中点，且对角线互相垂直， $B_{1} C ⊥ B C_{1}$ 。

$A O ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ， $B_{1} C \subset$ 该平面，故 $B_{1} C ⊥ A O$ 。又 $A O \cap B C_{1} = O$ ，所以 $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B O$ 。

$A B \subset$ 平面 $A B O$ ，故 $B_{1} C ⊥ A B$ 。

(2) $∠ C B B_{1} = 6 0^{\circ}$ ， $B B_{1} = B C = 1$ ，故 $△ C B B_{1}$ 为等边三角形， $B_{1} C = 1$ ；菱形另一条对角线 $B C_{1} = 3$ 。

先求 $A O$ ： $O B_{1} = O C = \frac{1}{2}$ ， $A B_{1}^{2} = A O^{2} + \frac{1}{4}$ ， $A C^{2} = A O^{2} + \frac{1}{4}$ 。在 $△ A B_{1} C$ 中 $A C ⊥ A B_{1}$ ， $B_{1} C = 1$ ，故 $A B_{1}^{2} + A C^{2} = 1$ ，即 $2 A O^{2} + \frac{1}{2} = 1$ ， $A O = \frac{1}{2}$ 。

注意 $A O$ 是 $A$ 到侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的距离，不是棱柱的高；棱柱的高是 $A_{1}$ 到平面 $A B C$ 的距离。

以 $O$ 为原点、 $O B_{1}$ 为 $x$ 轴、 $O B$ 为 $y$ 轴、 $O A$ 为 $z$ 轴建系： $B_{1} (- \frac{1}{2}, 0, 0)$ ， $C (\frac{1}{2}, 0, 0)$ ， $B (0, \frac{3}{2}, 0)$ ， $C_{1} (0, - \frac{3}{2}, 0)$ ， $A (0, 0, \frac{1}{2})$ ，由 $A A_{1} = C C_{1}$ 得 $A_{1} = (- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 。

平面 $A B C$ 的法向量 $n = A B \times A C = (- \frac{3}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{3}{4})$ ， $∣ n ∣ = \frac{7}{4}$ 。

$d = \frac{∣ n \cdot A A _{1} ∣}{∣ n ∣} = \frac{3 /4}{7 /4} = \frac{3}{7} = \frac{21}{7}$ 。

所以三棱柱的高为 $\frac{21}{7}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定；点面距离（棱柱的高）

核心方法：菱形对角线性质 + 线面垂直判定；向量法求点面距离

避坑指南：①最大的坑： $A O ⊥$ 侧面 $B B_{1} C_{1} C$ ， $A O = \frac{1}{2}$ 不是棱柱的高（高垂直于底面 $A B C$ ）；②平移 $A_{1}$ 用 $A A_{1} = C C_{1}$ 建系时方向别写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 线面垂直与空间距离的综合解答题（doc 考点定位：立体几何），与 2014 年新课标Ⅰ理第 19 题同卷同型（理加二面角）。

结论推广: 一般地，“特殊侧面（菱形/正方形）+ 面外一点到面垂直”是构造线面垂直的高频组合；棱柱的高 = 平行底面间的距离，可平移到任一顶点用向量求。

方法推广: 立体几何解答题：证垂直抓特殊图形（菱形对角线、等边三角形三线合一）；求距离优先建系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

2014-新课标I卷理-19 解-线面垂直

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2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高

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