2014-重庆卷理-19 解-线线垂直的性质与判定

本题导读

本题以四棱锥为背景，考查空间几何体中线段长度的计算以及二面角的求解。解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用向量垂直的充要条件（数量积为零）建立方程求解。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 如图(19)图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形，$PO\perp$ 底面 $ABCD$，$AB=2,\angle BAD=\frac{\pi }{3}$，$M$ 为 $BC$ 上一点，且 $BM=\frac{1}{2}$，$MP\perp AP$.

(1) 求 $PO$ 的长；

(2) 求二面角 $A-PM-C$ 的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：
   • 菱形 $ABCD$ 的中心为 $O$，且 $PO\perp$ 面 $ABCD$，故 $OA,OB,OP$ 两两垂直。
   • 以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系。
   • 根据菱形性质求出 $A,B,C$ 等底面点的坐标。利用向量共线求出 $M$ 点坐标。
   • 设 $P(0,0,a)$，利用 $MP\perp AP⟹\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{AP}=0$ 建立关于 $a$ 的方程求解。
2. 第二问分析：
   • 求出面 $APM$ 和面 $PMC$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$。
   • 利用向量夹角公式 $\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}$ 求出二面角的余弦值。
   • 最后利用同角三角函数基本关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 转化为正弦值。

✅【答案】

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(1) 求 $PO$ 的长；(2)求二面角 $A-PM-C$ 的正弦值

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $PO$ 的长 由于 $ABCD$ 是菱形，其中心为 $O$，则 $AC\perp BD$。又 $PO\perp$ 底面 $ABCD$，故 $OA,OB,OP$ 两两互相垂直。

以 $O$ 为坐标原点，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 因为 $AB=2,\angle BAD=60^{\circ }$，则 $△ABD$ 是等边三角形，$△ABC$ 中 $AC=2\sqrt{3},BD=2$。 可得 $OA=\sqrt{3},OB=1$。 则各点坐标为：$O(0,0,0),A(\sqrt{3},0,0),B(0,1,0),C(-\sqrt{3},0,0)$。 由 $\overrightarrow{BC}=(-\sqrt{3},-1,0)$，且 $BM=\frac{1}{2},BC=2$，可知 $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=(-\frac{\sqrt{3}}{4},-\frac{1}{4},0)$。 从而 $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM}=(-\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4},0)$，即 $M(-\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4},0)$。 设 $P(0,0,a)$ ($a>0$)，则 $\overrightarrow{AP}=(-\sqrt{3},0,a)$，$\overrightarrow{MP}=(\frac{\sqrt{3}}{4},-\frac{3}{4},a)$。 由 $MP\perp AP$ 得 $\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{AP}=0$： $(-\sqrt{3})\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}+0\cdot (-\frac{3}{4})+a\cdot a=0$ $-\frac{3}{4}+a^2=0⟹a=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 故 $PO=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

(2) 求二面角 $A-PM-C$ 的正弦值 由(1)得 $P(0,0,\frac{\sqrt{3}}{2})$。 $\overrightarrow{AP}=(-\sqrt{3},0,\frac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{MP}=(\frac{\sqrt{3}}{4},-\frac{3}{4},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{CP}=(\sqrt{3},0,\frac{\sqrt{3}}{2})$。 设平面 $APM$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{AP}=-\sqrt{3}{x}_1+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_1=0\\ \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{MP}=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}_1-\frac{3}{4}{y}_1+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_1=0\end{array}$，取 $\overrightarrow{n_1}=(1,\frac{5\sqrt{3}}{3},2)$。 设平面 $PMC$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$，则： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{CP}=\sqrt{3}{x}_2+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_2=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{MP}=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}_2-\frac{3}{4}{y}_2+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_2=0\end{array}$，取 $\overrightarrow{n_2}=(1,-\sqrt{3},-2)$。 则 $\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{1-5-4}{\sqrt{1+\frac{25}{3}+4}\cdot \sqrt{1+3+4}}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$。 记二面角 $A-PM-C$ 为 $\theta$，则 $|\cos \theta |=\frac{\sqrt{15}}{5}$。 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{15}{25}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。

故二面角 $A-PM-C$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间几何体线段长度与二面角。

2. 核心方法：建系由 $MP\perp AP$ 数量积为 0 求 $PO$，用两平面法向量求二面角正弦。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量垂直充要条件与法向量夹角。

2. 结论推广: 二面角正弦 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$。

3. 方法推广: 建系用数量积为 0 求高，用法向量求角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-04 单-线面垂直的性质
• 2013-江西卷理-19 解-线面垂直判定
• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定