2013-新课标II卷理-04 单-线面垂直的性质

本题导读

本题考查直线与平面，以及线面垂直的性质。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 4. 已知 $m, n$ 为异面直线， $m ⊥$ 平面 $α$ ， $n ⊥$ 平面 $β$ .直线 $l$ 满足 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ， $l \neq \subset α$ ， $l \neq \subset β$ ，则()

A. $α // β$ 且 $l // α$ 　　　　　　　　　　B. $α ⊥ β$ 且 $l ⊥ β$

C. $α$ 与 $β$ 相交，且交线垂直于 $l$ 　　　　D. $α$ 与 $β$ 相交，且交线平行于 $l$

🔍【思路分析】

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分析线面平行关系：

已知 $m ⊥ α$ ，若 $l ⊥ m$ 且 $l \neq \subset α$ ，根据垂直于同一条直线的直线与平面的关系，可推得 $l // α$ 。

同理，由 $n ⊥ β$ ， $l ⊥ n$ 且 $l \neq \subset β$ ，推得 $l // β$ 。

分析面面位置关系：

考虑 $α$ 与 $β$ 是否可能平行。若 $α // β$ ，则其法向量 $m$ 与 $n$ 应当平行。

但题目给出 $m, n$ 为异面直线，矛盾。因此 $α$ 与 $β$ 必然相交。

确定交线与 $l$ 的关系：

因为 $l // α$ 且 $l // β$ ，根据线面平行的性质定理推论，若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定线面平行 因为 $m ⊥$ 平面 $α$ ，且直线 $l ⊥ m$ 。由线面垂直的定义可知， $m$ 垂直于 $α$ 内的所有直线。若 $l$ 在 $α$ 内，则 $l ⊥ m$ 自然成立；但已知 $l \neq \subset α$ ，故直线 $l$ 平行于平面 $α$ 内的一条直线，即 $l // α$ 。同理，由 $n ⊥ β$ 且 $l ⊥ n$ ， $l \neq \subset β$ ，可得 $l // β$ 。

第二步：判定面面相交 利用反证法。若 $α // β$ ，由于 $m ⊥ α, n ⊥ β$ ，则必有 $m // n$ （或 $m, n$ 共线）。但这与已知条件 “ $m, n$ 为异面直线” 矛盾。所以， $α$ 与 $β$ 必定相交。

第三步：判定交线与 $l$ 的位置关系 设 $α \cap β = a$ 。已知 $l // α$ ，则存在 $α$ 内一条直线 $l_{1} // l$ 。已知 $l // β$ ，则存在 $β$ 内一条直线 $l_{2} // l$ 。从而 $l_{1} // l_{2}$ 。因为 $l_{1} \subset α$ ， $l_{2} \subset β$ ，且 $l_{1} // l_{2}$ ，由面面相交的性质可知，交线 $a$ 必平行于 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 。因此， $l // a$ 。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的性质（垂直于法向量的直线平行于平面）；线面平行的性质定理（平行于两个相交平面的直线平行于其交线）。

核心方法：通过法向量（垂直于平面的直线）来研究平面的位置关系是空间解析几何的核心思路。

避坑指南：注意题目中“异面直线”这一关键限制条件，它直接排除了面面平行的可能性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：异面直线的定义、二面角的概念、法向量在立体几何中的应用。

结论推广：若直线 $l$ 平行于两个相交平面，则 $l$ 平行于它们的交线。这是一个非常有用的二级结论。

方法推广：在处理立体几何选择题时，可以通过在正方体模型中寻找符合条件的直线和平面来快速排除错误选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直

2015-浙江卷文-18 解-线面垂直角

2015-广东卷文-06 单-异面直线

∑ ( Math )

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2013-新课标II卷理-04 单-线面垂直的性质

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