2015-上海卷文-19 解-立体几何综合

本题导读

空间几何基础题：一问求体积、一问求异面直线所成角。体积用”换底换高”最省力，求角则优先建系用向量，注意取绝对值。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 如图，圆锥的顶点为 $P$，底面圆心为 $O$，底面的一条直径为 $AB$，$C$ 为半圆弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ 的中点，$E$ 为劣弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{CB}}$ 的中点. 已知 $PO=2$，$OA=1$，求三棱锥 $P-AOC$ 的体积，并求异面直线 $PA$ 与 $OE$ 所成角的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求体积先定底面：取 $△AOC$ 为底、$PO$ 为高，可直接用 $V=\frac{1}{3}Sh$。
2. 求异面直线所成角，直角关系充足（$PO\perp$ 底面、$OA\perp OC$），建空间直角坐标系最稳。
3. 用向量的夹角公式，最后取绝对值。

✅【答案】

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(1) $V_{P-AOC}=\frac{1}{3}$

(2) 异面直线 $PA$ 与 $OE$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 以 $O$ 为原点，$OA$、$OC$ 所在直线为 $x$、$y$ 轴，$OP$ 所在直线为 $z$ 轴建立空间直角坐标系，取

$A=(-1,0,0),B=(1,0,0),C=(0,-1,0),$

则 $E=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$。由 $PO=2$ 可取

$P=(0,0,2).$

$△AOC$ 为直角三角形且 $OA=OC=1$，其面积

$S_{△AOC}=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}.$

又 $PO\perp$ 底面，$PO$ 即为三棱锥 $P-AOC$ 的高，故

$V_{P-AOC}=\frac{1}{3}\cdot S_{△AOC}\cdot PO=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 2=\frac{1}{3}.$

（2） 直线 $PA$ 的一个方向向量可取

$\overrightarrow{AP}=(1,0,2),$

直线 $OE$ 的一个方向向量可取

$\overrightarrow{OE}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right).$

设两异面直线所成的角为 $\theta$，则

$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{OE}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{OE}|}=\frac{\left|1\times \frac{\sqrt{2}}{2}+0+0\right|}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot 1}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$

所以三棱锥 $P-AOC$ 的体积为 $\frac{1}{3}$，异面直线 $PA$ 与 $OE$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥的结构特征；三棱锥体积的”换底换高”；用空间向量求异面直线所成的角。

2. 核心方法：体积找”好算的底 + 垂直的高”；求角一律建系 + 向量夹角公式 + 取绝对值。

3. 避坑指南：（1）若把底面选成 $△POC$，高反而不好确定，白白绕远；（2）异面直线所成角的取值范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，$\cos \theta >0$，绝对值不能丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是”空间几何体 + 空间角”的合体，是上海卷解答题的稳定开局（第 19 题位置）。

2. 结论推广: 若把 $E$ 换到弧上其他位置，或用几何法（平移 $PA$ 作角）求解，结论一致 —— 两种解法互为检验。

3. 方法推广: “建系—求向量—套夹角公式”三步，是空间角问题的通用解法，可推广到线面角与二面角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2016-上海卷文-19
• 2015-上海卷理-19 解-空间位置关系