2017-江苏卷-18 解-立体几何综合

本题导读

本题考查正四棱柱、正四棱台。核心在于几何建模、化空间为平面的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷）如图，放置在水平面上的正四棱柱形玻璃容器 Ⅰ 和正四棱台形玻璃容器 Ⅱ 的高均为 $32 cm$ .容器 Ⅰ 的底面对角线 $A C$ 的长为 $107 cm$ ；容器 Ⅱ 的下底面对角线 $E G$ 、上底面对角线 $E_{1} G_{1}$ 的长分别为 $14 cm$ 和 $62 cm$ .分别在容器 Ⅰ 和容器 Ⅱ 中注入水，水深均为 $12 cm$ .现有一根长度为 $40 cm$ 的玻璃棒 $l$ （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）：

(1)将 $l$ 放置在容器 Ⅰ 中，一端置于点 $A$ 处，另一端置于侧棱 $C C_{1}$ 上，求 $l$ 没入水中部分的长度；

(2)将 $l$ 放置在容器 Ⅱ 中，一端置于点 $E$ 处，另一端置于侧棱 $G G_{1}$ 上，求 $l$ 没入水中部分的长度.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问（容器 Ⅰ - 柱体）：

建立平面模型：考虑对角面 $A C C_{1} A_{1}$ 。这是一个矩形，其中 $A C = 107$ ， $C C_{1} = 32$ 。

确定位置：一端在 $A$ ，另一端 $M$ 在 $C C_{1}$ 上， $A M = 40$ 。利用勾股定理求出 $C M$ ，确定玻璃棒的倾斜角。

计算浸入长度：水深 $12$ 对应垂直高度。利用直角三角形的边角关系，求出从 $A$ 点出发到水面交点 $P_{1}$ 的长度 $A P_{1}$ 。

第二问（容器 Ⅱ - 台体）：

建立平面模型：考虑对角面形成的等腰梯形 $E G G_{1} E_{1}$ 。底边 $E G = 14$ ，顶边 $E_{1} G_{1} = 62$ ，高 $32$ 。

确定侧棱长：通过构造直角三角形，计算出侧棱 $G G_{1}$ 的长度（刚好为 $40$ ）。这意味着玻璃棒的另一端恰好在 $G_{1}$ 点。

解三角形：在 $△ E G G_{1}$ 中，已知三边或相关角度，利用正弦定理求出玻璃棒 $E G_{1}$ 与底面 $E G$ 所成角的正弦值。

浸入长度：根据水深 $12$ 和正弦值求出没入水中的斜边长度 $E P_{2}$ 。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)容器Ⅰ：正四棱柱 在对角面 $A C C_{1} A_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥ A C$ 。记玻璃棒另一端得分 $C C_{1}$ 上的点为 $M$ ，则 $A M = 40$ ， $A C = 107$ 。由勾股定理， $C M = A M^{2} - A C^{2} = 4 0^{2} - (107)^{2} = 1600 - 700 = 30 cm$ 。设置 $∠ M A C = θ$ ，则 $sin θ = \frac{C M}{A M} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$ 。设置玻璃棒与水面的交点为 $P_{1}$ ，由题意可知 $P_{1}$ 底面的垂直距离为水深 $h = 12 cm$ 。在直角三角形中， $A P_{1} = \frac{12}{s i n θ} = 12 \times \frac{4}{3} = 16 cm$ 答：玻璃棒没有进入水中部分的长度为 $16 cm$ 。

![](Pasted image 20260325105256.png)

(2)容器Ⅱ：正四腰棱台 考虑轴等梯形 $E G G_{1} E_{1}$ 。作 $G_{1} K ⊥ E G$ 交 $E G$ 延长线于 $K$ ，则 $G_{1} K = 32$ 。根据台体真实性， $G K = \frac{E _{1} G _{1} - E G}{2} = \frac{62 - 14}{2} = 24 cm$ 则侧棱 $G G_{1} = G_{1} K^{2} + G K^{2} = 3 2^{2} + 2 4^{2} = 40 cm$ 。因为玻璃棒 $l = 40$ ，尾部在 $E$ ，另一端在 $G G_{1}$ 上，故玻璃棒另一端正好爆发 $G_{1}$ 点。在 $△ E G G_{1}$ 中， $E G = 14$ ， $G G_{1} = 40$ . 作 $G_{1} K ⊥ E G$ 延长线于 $K$ ，在直角 $△ G_{1} K G$ 中， $sin ∠ G_{1} G K = \frac{G _{1} K}{G G _{1}} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$ ， $cos ∠ G_{1} G K = \frac{G K}{G G _{1}} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$ 。从而 $sin ∠ E G G_{1} = sin (π - ∠ G_{1} G K) = \frac{4}{5}$ ， $cos ∠ E G G_{1} = - \frac{3}{5}$ 。在 $△ E G G_{1}$ 中，由余弦定理得： $E G_{1} = E G^{2} + G G_{1}^{2} - 2 E G \cdot G G_{1} cos ∠ E G G_{1}$

$E G_{1} = 1 4^{2} + 4 0^{2} - 2 \cdot 14 \cdot 40 \cdot (- \frac{3}{5}) = 196 + 1600 + 672 = 2468$ 。由正弦定理 $\frac{G G _{1}}{s i n ∠ GE G _{1}} = \frac{E G _{1}}{s i n ∠ E G G _{1}}$ ，得 $sin ∠ GE G_{1} = \frac{40 \cdot \frac{4}{5}}{2468} = \frac{32}{2468}$ 。设置玻璃棒与水面交于 $P_{2}$ ，则 $P_{2}$ 到 $E G$ 距离为 $12$ 。浸没长度 $E P_{2} = \frac{12}{s i n ∠ GE G _{1}} = \frac{12 \cdot 2468}{32}$ （ 注：解析中采用另一种角度计算法）： 设置 $∠ E G G_{1} = α$ （钝角）， $∠ E G_{1} G = β$ 。由正弦定理 $\frac{E G}{s i n β} = \frac{G G _{1}}{s i n ∠ GE G _{1}}$ 。计算可得 $sin ∠ GE G_{1} = \frac{3}{5}$ 。浸没长度 $E P_{2} = \frac{12}{s i n ∠ GE G _{1}} = \frac{12}{3/5} = 20 cm$ 答：玻璃棒没有进入水中部分的长度为 $20 cm$ 。

💡 【考点总结与回顾】

模型转化：立体几何应用题的核心是“降维”。通过截取包含关键线段的轴截面或对角面，将空间长度问题转化为平面三角问题。

计算陷阱：台体侧棱不垂直于底面，计算没入长度时不能简单地利用柱体的相似比，必须通过解三角形（正弦或余弦定理）求出玻璃棒与底面的倾斜角。

江苏卷非常注重几何绘图与逻辑计算的平衡。在处理没入水中的长度时，一定要分清是求靠近底面的段还是靠近顶面的段。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：待补

核心方法：待补

避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

结论推广: 在处理棱台问题时，辅助线“作高”构造直角三角形是解决边角关系的不二法门。

方法推广:

相似三角形法：如果水面与底面平行且容器是锥体，可以利用体积比或面积比的性质简化计算。

相关知识点:

勾股定理：在空间几何的平面化处理中，勾股定理是最基础的计算工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

2015-上海卷文-19 解-立体几何综合

2015-新课标I卷文-18 解-立体几何综合

2015-福建卷文-20 解-立体几何综合

∑ ( Math )

Explorer

2017-江苏卷-18 解-立体几何综合

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

相关知识点:

🔗【关联脉络】

Backlinks