2015-上海卷理-04 填-几何体结构

本题导读

本题考查正三棱柱体积的计算。关键在于理解“所有棱长均为 $a$”这一条件，从而确定底面正三角形的边长和棱柱的高。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 若正三棱柱的所有棱长均为 $a$，且其体积为 $16\sqrt{3}$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析几何体结构：正三棱柱底面是正三角形。由于“所有棱长均为 $a$”，则底面边长为 $a$，高（侧棱长）也为 $a$。
2. 计算底面积：边长为 $a$ 的正三角形面积公式为 $S_{底}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$。
3. 建立体积方程：利用棱柱体积公式 $V=S_{底}\cdot h$，代入已知体积 $16\sqrt{3}$。
4. 求解 $a$：解关于 $a$ 的三次方方程。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算底面积 正三棱柱的底面为边长为 $a$ 的正三角形，其面积为： $S_{底}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

第二步：计算体积并列式 正三棱柱的高为 $a$，根据体积公式 $V=S_{底}\times h$ 得： $V=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\times a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^3$

第三步：代入已知数据求解 已知 $V=16\sqrt{3}$，则： $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^3=16\sqrt{3}$ 等式两边同时除以 $\sqrt{3}$，得： $\frac{1}{4}{a}^3=16$ $a^3=64$ 解得： $a=4$

答案：4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：棱柱体积公式；正三角形面积公式。
• 核心方法：公式法。
• 避坑指南：注意“所有棱长均为 $a$”意味着底面三条边、顶面三条边以及连接两底的三条侧棱共 9 条棱均为 $a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若正三棱柱所有棱长均为 $a$，则其表面积为 $S=2\times \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2+3a^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}+3)a^2$。

• 相关知识点：正四棱柱、长方体的体积。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2022-高考上海卷-5
• 2025-上海卷-07 填-正四棱柱体积
• 2025-上海卷-18 解-立体几何综合