2025-上海卷-07 填-正四棱柱体积

本题导读

本题考查正四棱柱的几何性质及其体积计算. 通过底面对角线与体对角线的关系，利用勾股定理求出底面积与高，是上海卷空间几何板块的基础计算题.

📌【题干】

Question

（2025年上海卷）如图，在正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$BD=4\sqrt{2}$，$D{B}_1=9$，则该正四棱柱的体积为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

解决正四棱柱体积问题的核心是确定底面积 $S_{\text{底}}$ 和高 $h$：

1. 理解结构：“正四棱柱”说明底面 $ABCD$ 是正方形，且侧棱 $B{B}_1\perp$ 底面.
2. 求底面积：已知底面正方形的对角线 $BD=4\sqrt{2}$，利用勾股定理 $2a^2=B{D}^2$ 求出边长 $a$ 或直接求出底面积 $a^2$.
3. 求高：在 $Rt△B_{1}BD$ 中，已知斜边（体对角线）$D{B}_1=9$ 和直角边（底面对角线）$BD=4\sqrt{2}$，利用勾股定理求出直角边 $B{B}_1$（即棱柱的高）.
4. 计算体积：代入公式 $V=S_{\text{底}}\cdot h$.

✅【答案】

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故填：112

✍【详细解析】

Abstract

1. 计算底面积 $S_{\text{底}}$： 设正方形底面的边长为 $a$. 在 $Rt△ABD$ 中，由勾股定理得： $A{B}^2+A{D}^2=B{D}^2⟹2a^2=(4\sqrt{2}{)}^2=32$. 解得底面积 $S_{\text{底}}=a^2=16$（此时边长 $a=4$）.

2. 计算正四棱柱的高 $h$： 由于 $B{B}_1\perp$ 底面 $ABCD$，且 $BD\subset$ 底面，故 $B{B}_1\perp BD$. 在 $Rt△B_{1}BD$ 中，由勾股定理得： $B{B}_1^2+B{D}^2=D{B}_1^2$ $B{B}_1^2+32=9^2=81$ $B{B}_1^2=49⟹B{B}_1=7$. 即正四棱柱的高 $h=7$.

3. 计算体积 $V$： $V=S_{\text{底}}\times h=16\times 7=112$.

故填：112

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 概念识别：务必区分“直四棱柱”与“正四棱柱”。正四棱柱的底面必须是正方形.

2. 方法总结：

• 核心工具：空间勾股定理. 对于长宽高分别为 $a,b,c$ 的长方体，体对角线 $l$ 满足 $l^2=a^2+b^2+c^2$。在本题中即 $D{B}_1^2=A{B}^2+A{D}^2+B{B}_1^2$.
• 计算技巧：在求出 $B{D}^2=32$ 后，不需要急于对 $a^2=16$ 进行开方，因为体积公式直接使用底面积 $a^2$.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若正四棱柱的底面边长为 $a$，高为 $h$，则其侧面积 $S_{\text{侧}}=4ah$，表面积 $S_{\text{表}}=4ah+2a^2$.

2. 方法的推广:

• 截面法：在处理更复杂的空间距离（如点到平面的距离）时，常通过构造包含该距离的直角三角形截面来简化问题.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-05 填-正四棱柱异面直线角
• 2009-陕西卷文-11 单-正八面体体积
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积