2015-上海卷理-06 填-圆锥表面积

本题导读

本题考查圆锥的几何性质。核心在于建立圆锥侧面积与轴截面面积的代数关系，通过化简得出母线与高的比例关系，进而利用三角函数求出夹角。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 $2\pi$，则其母线与轴的夹角的大小为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定义基本参数：设圆锥的底面半径为 $r$，高为 $h$，母线长为 $l$。
2. 写出面积公式：
   • 侧面积 $S_{侧}=\pi rl$。
   • 轴截面是一个底边为 $2r$，高为 $h$ 的等腰三角形，其面积 $S_{截}=\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot h=rh$。
   3. 建立比例方程：根据题意 $\frac{\pi rl}{rh}=2\pi$。
3. 寻找几何联系：化简得到母线 $l$ 与高 $h$ 的关系。
4. 求解夹角：母线与轴的夹角 $\alpha$ 位于由 $r,h,l$ 组成的直角三角形中，且 $\cos \alpha =\frac{h}{l}$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出相关面积表达式 设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $l$，高为 $h$。

• 圆锥的侧面积公式为：$S_{侧}=\pi rl$
• 圆锥过轴的截面（轴截面）面积为：$S_{截}=\frac{1}{2}\cdot (2r)\cdot h=rh$

第二步：利用已知比例求解参数关系 由题意得： $\frac{S_{侧}}{S_{截}}=\frac{\pi rl}{rh}=2\pi$ 消去相同项 $\pi$ 和 $r$（注：$r>0,h>0$）： $\frac{l}{h}=2⟹l=2h$

第三步：计算夹角 设母线与轴的夹角为 $\alpha$。在由半径 $r$、高 $h$、母线 $l$ 构成的直角三角形中，$h$ 是邻边，$l$ 是斜边。 根据三角函数定义： $\cos \alpha =\frac{h}{l}$ 代入 $l=2h$： $\cos \alpha =\frac{h}{2h}=\frac{1}{2}$ 因为 $\alpha$ 是直角三角形的锐角，所以： $\alpha =\frac{\pi }{3}\text{（或 }60^{\circ }\text{）}$

答案：$\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆锥的侧面积公式 $S=\pi rl$；轴截面的概念及其面积计算。
• 核心方法：参数建模法。通过设置 $r,h,l$ 等基本参数，将几何语言转化为代数方程。
• 避坑指南：注意“母线与轴的夹角”与“母线与底面的夹角”的区别。前者对应 $\cos \alpha =\frac{h}{l}$，后者对应 $\cos \beta =\frac{r}{l}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若母线与轴夹角为 $30^{\circ }$，则轴截面为等边三角形。 *方法推广: 涉及旋转体（圆锥、圆柱、圆球）的度量问题时，画出轴截面是解决问题的“黄金准则”。

• 相关知识点：圆锥的体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2014-上海卷理-06 填-圆锥的侧面积与底面积
• 2022-高考上海卷-5
• 2025-上海卷-07 填-正四棱柱体积