2015-上海卷理-15 单-复数概念

本题导读

本题考查复数概念与常用逻辑用语的综合运用。重点在于理解复数集合的构成，以及通过正向推导与逆向反例来判定条件之间的充分性和必要性。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 设 $z_1,z_2\in \mathbb{C}$，则“$z_1,z_2$ 中至少有一个数是虚数”是“$z_1-z_2$ 是虚数”的 ()

A. 充分非必要条件　　　　　　　　　　B. 必要非非充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既非充分又非必要条件

🔍【思路分析】

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1. 理解概念：
   • 实数：虚部为 0 的复数。
   • 虚数：虚部不为 0 的复数。
2. 判定充分性（若 $P⟹Q$）：
   • 条件 $P$：$z_1,z_2$ 中至少有一个虚数。
   • 考虑反例：如果 $z_1=i,z_2=i$，则两个都是虚数，但 $z_1-z_2=0$，结果是实数而非虚数。
   • 结论：充分性不成立。
3. 判定必要性（若 $Q⟹P$）：
   • 条件 $Q$：$z_1-z_2$ 是虚数。
   • 考虑逆否命题：若 $z_1,z_2$ 都不是虚数（即都是实数），则实数减实数必然还是实数，不可能产生虚数。
   • 结论：必要性成立。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $P$：“$z_1,z_2$ 中至少有一个数是虚数”，$Q$：“$z_1-z_2$ 是虚数”。

第一步：分析充分性（$P⟹Q$） 取 $z_1=i,z_2=i$，此时满足“$z_1,z_2$ 中至少有一个数是虚数”（实际上两个都是）。 计算 $z_1-z_2=i-i=0$。 因为 $0$ 是实数，不是虚数，所以 $Q$ 不成立。 故充分性不成立。

第二步：分析必要性（$Q⟹P$） 采用反证法（或考察逆否命题）： 若 $P$ 不成立，即 $z_1,z_2$ 中没有虚数，也就是说 $z_1,z_2$ 均为实数。 由实数的运算性质可知，两个实数之差 $z_1-z_2$ 必为实数。 这与 $Q$（$z_1-z_2$ 是虚数）矛盾。 因此，若 $Q$ 成立，则 $P$ 必成立。 故必要性成立。

综上所述，“$z_1,z_2$ 中至少有一个数是虚数”是“$z_1-z_2$ 是虚数”的必要非充分条件。

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：虚数的定义（$a+bi,b\ne 0$）；逻辑条件的强弱判定。
• 核心方法：举反例法。在判定充分性时，寻找一个满足前提但不满足结论的特例是最快的方法。
• 避坑指南：注意“复数”与“虚数”的区别。实数也是复数的一种，但实数不是虚数。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若 $z_1+z_2$ 是虚数，同样可以推导出 $z_1,z_2$ 中至少有一个是虚数。

• 相关知识点：全称量词与存在量词、复数的加减运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练(Links)

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