2015-上海卷理-19 解-空间位置关系

本题导读

本题是立体几何的综合大题。第一问要求证明四点共面，可以通过向量共线或中位线性质证明平行来实现；第二问要求线面角，推荐建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角公式进行计算。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A{A}_1=1$，$AB=AD=2$，$E,F$ 分别是 $AB,BC$ 的中点.证明：$A_1,C_1,F,E$ 四点共面，并求直线 $C{D}_1$ 与平面 $A_1{C}_{1}FE$ 所成的角的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明共面）：
   • 几何法：连接 $AC$。在 $△ABC$ 中，$E,F$ 分别是 $AB,BC$ 的中点，由中位线定理得 $EF//AC$。又在长方体中，$AC//A_1{C}_1$，根据平行线的传递性得 $EF//A_1{C}_1$。两条平行直线确定一个平面，故四点共面。
   • 向量法：证明 $\overrightarrow{EF}$ 与 $\overrightarrow{A_1{C}_1}$ 共线。
2. 第二问（求线面角）：
   • 建立坐标系：以 $D$ 为原点，$DA,DC,D{D}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 求法向量：写出平面内两个不共线向量（如 $\overrightarrow{EF},\overrightarrow{A_{1}E}$），设平面法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，利用数量积为 0 求解。
     • 计算角度：求直线 $C{D}_1$ 的方向向量 $\vec{v}$。利用公式 $\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$ 求出线面角的正弦值，最后用 $arcsin$ 表示角度。

✅【答案】

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𝐴1，𝐶1，𝐹，𝐸四点共面.（2）短答案：所成角的正弦值为√1015.

✍【详细解析】

Abstract

（I）证明：$A_1,C_1,F,E$ 四点共面

在底面 $ABCD$ 中，连接 $AC$。 因为 $E,F$ 分别是 $AB,BC$ 的中点， 所以 $EF$ 是 $△ABC$ 的中位线，则 $EF//AC$。 在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，上下底面平行且全等， 所以 $AC//A_1{C}_1$。 由此可得 $EF//A_1{C}_1$。 因为平行直线 $EF$ 与 $A_1{C}_1$ 确定一个平面， 所以 $A_1,C_1,F,E$ 四点共面。

（II）求直线 $C{D}_1$ 与平面 $A_1{C}_{1}FE$ 所成的角

以 $D$ 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 $D-xyz$。 则各点坐标为：$D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),D_1(0,0,1),A_1(2,0,1),C_1(0,2,1)$。 因为 $E,F$ 是中点，则 $E(2,1,0),F(1,2,0)$。 向量 $\overrightarrow{EF}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{A_{1}E}=(0,1,-1)$。 设平面 $A_1{C}_{1}FE$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{EF}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{A_{1}E}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-x+y=0\\ y-z=0\end{array}$ 取 $y=1$，则 $x=1,z=1$，得 $\vec{n}=(1,1,1)$。 又直线 $C{D}_1$ 的方向向量 $\vec{v}=\overrightarrow{C{D}_1}=(0,-2,1)$。 设直线 $C{D}_1$ 与平面 $A_1{C}_{1}FE$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}=\frac{|0-2+1|}{\sqrt{0^2+(-2{)}^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$ 所以直线 $C{D}_1$ 与平面 $A_1{C}_{1}FE$ 所成的角为 $\arcsin \frac{\sqrt{15}}{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：中位线性质证明平行；空间向量法处理线面角问题。
• 核心方法：空间直角坐标系法。这是一种“暴力美学”，通过代数运算代替繁琐的辅助线构造，准确率更高。
• 避坑指南：
  1. 建立坐标系时要确保三轴互相垂直（长方体自带垂直结构，最适合建系）。
  2. 计算线面角时，公式里是 $sin$ 而不是 $cos$，且记得取绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若空间两直线平行，则这两条直线共面。 *方法推广: 求解二面角、点到平面的距离、异面直线距离等空间几何度量问题，均可采用向量法统一解决。

• 相关知识点：平面法向量的唯一性、向量的外积（叉乘）求法向量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练(Links)

• 2014-上海卷理-19 解-棱锥的体积计算
• 2013年上海卷理-19
• 2012年上海卷理-19