2015-新课标II卷理-19 解-几何体性质

本题导读

本题考查长方体中的截面性质以及线面角的计算。第一问需要根据“交线围成正方形”这一特殊条件确定截面的位置；第二问则通过建立空间直角坐标系，利用法向量求解直线与平面所成角的正弦值。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 如图，长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=16$，$BC=10$，$A{A}_1=8$.点 $E,F$ 分别在 $A_1{B}_1,D_1{C}_1$ 上，$A_{1}E=D_{1}F=4$.过点 $E,F$ 的平面 $\alpha$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

(1) 在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

(2) 求直线 $AF$ 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：
   • 观察 $E,F$ 的位置：它们在相互平行的棱上，且 $A_{1}E=D_{1}F=4$，说明 $EF\parallel A_1{D}_1\parallel AD$。
   • 确定正方形边长：因为 $EF=A_1{D}_1=10$，要围成正方形，截面在其他面上的交线长度也必须为 10。
   • 寻找交点：在下底面找到点 $H,G$ 使得 $EH=FG=10$。利用勾股定理确定 $H,G$ 在 $AB,CD$ 上的具体位置。
2. 第二问分析：
   • 建系：利用长方体的垂直关系，以 $D$ 为原点，$DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 求点坐标：根据长度比例确定 $A,F,E,H$ 等点的坐标。
   • 求法向量：求平面 $\alpha$ 的两个不共线向量，通过方程组 $\vec{n}\cdot \vec{u}=0$ 求出平面的法向量 $\vec{n}$。
   • 计算夹角：利用公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{AF},\vec{n}⟩|$ 计算线面角的正弦值。

✅【答案】

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直线 $AF$ 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦值为 $\frac{4\sqrt{5}}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 画出正方形 由于 $EF\parallel A_1{D}_1$，且 $EF=10$。设平面 $\alpha$ 与 $AB,CD$ 分别交于点 $H,G$。 要使 $EFGH$ 为正方形，需 $EH=EF=10$。 在侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 中，过 $E$ 作 $EM\perp AB$ 于 $M$，则 $EM=A{A}_1=8$。 在 $Rt△EMH$ 中，$MH=\sqrt{E{H}^2-E{M}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。 故点 $H$ 在 $AB$ 上，且满足 $AH=A_{1}E+MH=4+6=10$。 同理，点 $G$ 在 $CD$ 上且 $DG=10$。连接 $EH,HG,GF,FE$ 即得正方形。

(2) 求直线 $AF$ 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦值 以 $D$ 为原点，射线 $DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 则各点坐标为： $D(0,0,0),A(10,0,0),B(10,16,0),C(0,16,0)$ $D_1(0,0,8),A_1(10,0,8),F(0,4,8),E(10,4,8),H(10,10,0)$。


平面 $\alpha$ 即为平面 $EFH$。 $\overrightarrow{EF}=(10,0,0)$，$\overrightarrow{EH}=(0,6,-8)$。 设平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{EF}=10x=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{EH}=6y-8z=0\end{array}$ 令 $z=3$，得 $y=4,x=0$。故 $\vec{n}=(0,4,3)$。 又 $\overrightarrow{AF}=(-10,4,8)$。 设直线 $AF$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{AF},\vec{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{AF}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AF}|\cdot |\vec{n}|}$ $\sin \theta =\frac{|-10\times 0+4\times 4+8\times 3|}{\sqrt{(-10{)}^2+4^2+8^2}\cdot \sqrt{0^2+4^2+3^2}}=\frac{16+24}{\sqrt{180}\cdot 5}=\frac{40}{6\sqrt{5}\cdot 5}=\frac{4\sqrt{5}}{15}$

答案：直线 $AF$ 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦值为 $\frac{4\sqrt{5}}{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：截面位置的确定；空间向量求线面角。
• 核心方法：坐标系的选择应尽可能利用原有的垂直棱。计算法向量时，取值应尽量使坐标为整数。
• 避坑指南：第一问画图时，必须保证 $EH=10$，即 $H$ 点位置要精准。第二问求法向量时，注意不要把向量的方向弄错。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 线面角的范围为 $[0,\frac{\pi }{2}]$，其正弦值等于线方向向量与面法向量夹角余弦值的绝对值。 *方法推广: 空间向量法是处理立体几何中度量问题（角、距离）的万能武器，只要能建立坐标系，程序化的计算往往比几何证明更稳健。

• 相关知识点：二面角的向量求法、点到平面的距离。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2022甲卷文-09
• 2022-全国甲卷-7
• 2015-上海卷理-19 解-空间位置关系