2015-北京卷文-06 单-向量数量积

本题导读

本题主要考查平面向量数量积的性质与向量平行的关系，以及充要条件的判定。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(文)） 设 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 是非零向量，“$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$” 是 “$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$” 的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据向量数量积公式 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$，若 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$，则 $\cos \theta =1$，从而夹角 $\theta =0^{\circ }$，即 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 同向共线，可推出 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$。
2. 若 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$，向量可能同向（$\theta =0^{\circ }$）也可能反向（$\theta =180^{\circ }$），当反向时 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$，不一定满足题设，故无法反推。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$ 可得 $\cos \theta =1$，即夹角 $\theta =0^{\circ }$，此时向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 同向平行，必有 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$（充分性成立）。 反之，若 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 可能同向，也可能反向（当反向时 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$），故由 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$ 不能推出 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$（必要性不成立）。 因此，“$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$” 是 “$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$” 的充分而不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数量积几何意义、向量共线条件、充要条件。
2. 核心方法：利用夹角余弦值进行推导。
3. 避坑指南：向量平行包含同向和反向两种情况，切勿忽略反向共线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考平面向量基本概念常规考查。
2. 结论推广: 若 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$ 则两向量反向共线。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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