2023-北京卷-03 单-向量坐标运算

本题导读

本题考查坐标表示与几何意义，以及数量积的运算律。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）已知向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}=(2,3),\vec{a}-\vec{b}=(-2,1)$，则 $|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=$ (　　)

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $0$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

分析目标：题目要求计算 $|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2$ 的值。

联想公式：根据实数中的平方差公式，联想向量数量积的运算律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})={\vec{a}}^2-{\vec{b}}^2=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2$。

坐标运算：直接将已知的 $\vec{a}+\vec{b}$ 和 $\vec{a}-\vec{b}$ 的坐标代入数量积的坐标运算公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 即可极速求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解析

方法一：乘法公式法（最优解）

根据平面向量数量积的运算律（平方差公式）：

$|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})$

已知 $\vec{a}+\vec{b}=(2,3),\vec{a}-\vec{b}=(-2,1)$，代入上式进行向量的坐标数量积运算：

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=2\times (-2)+3\times 1=-4+3=-1$。

所以 $|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=-1$。

方法二：坐标代数法（解方程组求单向量，供参考与验算）

设向量 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则由已知可得：

$\{\begin{array}{l}\vec{a}+\vec{b}=(2,3)\\ \vec{a}-\vec{b}=(-2,1)\end{array}$

两式相加除以 2，得：$\vec{a}=\frac{(2,3)+(-2,1)}{2}=(0,2)$，所以 $|\vec{a}{|}^2=0^2+2^2=4$。

两式相减除以 2，得：$\vec{b}=\frac{(2,3)-(-2,1)}{2}=(2,1)$，所以 $|\vec{b}{|}^2=2^2+1^2=5$。

因此，$|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=4-5=-1$。

结论：

对应选项 B 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量模长平方与自身数量积的等价转换律、多项式乘法公式在向量领域的拓扑推广、数量积坐标分量乘积和公式。
2. 核心方法：多项式整体换元法（方法一）、基本分量代数解方程法（方法二）。
3. 避坑指南：

• 混淆数量积与实数乘法：在利用方法一展开时，必须牢记向量与向量之间是数量积点乘（$\cdot$），不可遗漏点乘符号写成纯代数连乘。
• 中途运算出现负号失误：在使用数量积坐标公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 时，注意 $2\times (-2)=-4$ 带有负号，在与 $3\times 1=3$ 累加时要避免粗心导致计算符号弄错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题作为北京高考数学卷选择题前段的基础题，立意非常明确，旨在考查平面向量的代数运算性质。题目将“坐标表示”与“运算律公式”横向交织，要求考生体会到向量代数结构与实数代数结构的相似性，从而培养整体化归与化简的思维。
2. 结论推广：类似地，不仅是平方差公式，实数中的完全平方公式在平面向量中同样满足刚性的代数等价映射： $|\vec{a}\pm \vec{b}{|}^2=(\vec{a}\pm \vec{b}{)}^2=|\vec{a}{|}^2\pm 2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$ 在高考的横向拓展中，如果已知 $|\vec{a}+\vec{b}|$、 $|\vec{a}-\vec{b}|$ 的坐标或模长，要求计算两向量的数量积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$，我们可以通过这两式平方后作差（极化恒等式的一种变形）来极速求解： $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{4}\left(|\vec{a}+\vec{b}{|}^2-|\vec{a}-\vec{b}{|}^2\right)$ 掌握这些代数结构恒等式，能让考生在面对复杂的平面向量综合度量问题时建立更高级的全局统筹视域

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2013-山东卷理-15 填-向量数量积
• 2013-新课标I卷理-13 填-向量数量积