2015-北京卷文-12 填-双曲线方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程及其简单几何性质，属于基础题。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(文)） 已知 $(2,0)$ 是双曲线 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 的一个焦点，则 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据双曲线标准方程确定 $a^2=1$，从而得出 $a=1$。
2. 由焦点坐标 $(2,0)$ 得到半焦距 $c=2$。
3. 利用双曲线中 $c^2=a^2+b^2$ 求出 $b$ 的值。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$ 可知，$a^2=1$， 因为点 $(2,0)$ 是双曲线的一个焦点，所以 $c=2$。 在双曲线中满足 $c^2=a^2+b^2$， 即 $2^2=1^2+b^2⟹4=1+b^2⟹b^2=3$。 又因为 $b>0$，所以 $b=\sqrt{3}$。 答案：$\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线 $a,b,c$ 的关系。
2. 核心方法：基本量求解。
3. 避坑指南：注意双曲线性质中 $c^2=a^2+b^2$ 与椭圆 $a^2=b^2+c^2$ 的区别，切勿记混。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥曲线基础性质考查。
2. 结论推广: 双曲线渐近线与离心率的综合计算。

🔗【关联脉络】

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$\surd 3$

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