2020-北京卷-12 填-点到直线距离

本题导读

本题考查双曲线的标准方程。核心在于公式法、特征常数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）12. 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$，则 $C$ 的右焦点的坐标为 $\underline{}$；$C$ 的焦点到其渐近线的距离是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取基本参数： 从标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中识别出：

• $a^2=6⟹a=\sqrt{6}$
• $b^2=3⟹b=\sqrt{3}$
• 计算半焦距 $c=\sqrt{a^2+b^2}$。

2. 确定焦点坐标： 焦点位于 $x$ 轴上，坐标为 $(\pm c,0)$。

3. 计算距离：

• 方法一（直接法）： 写出渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$，利用点到直线的距离公式计算。
• 方法二（结论法）： 利用双曲线固有结论——焦点 $(c,0)$ 到渐近线 $bx\pm ay=0$ 的距离 $d=b$。

✅【答案】

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$(3,0)$ ； $\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $(3,0)$ ； $\sqrt{3}$

【解析过程】 由双曲线方程 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$ 知： $a^2=6$，$b^2=3$。 则 $c^2=a^2+b^2=6+3=9$，故 $c=3$。

1. 右焦点坐标： 因为焦点在 $x$ 轴上，所以右焦点为 $(3,0)$。
2. 焦点到渐近线的距离： 双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。 整理为一般式：$x-\sqrt{2}y=0$。 焦点 $F(3,0)$ 到该直线的距离 $d=\frac{|3-\sqrt{2}\times 0|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{2}{)}^2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。 （验证结论：$d=b=\sqrt{3}$，结果一致）。

故答案为：$(3,0)$ ； $\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 参数关系不要混淆： 椭圆中 $a^2=b^2+c^2$，而双曲线中 $c^2=a^2+b^2$。
• 焦点位置判定： 看正号项。$x^2$ 前为正，焦点在 $x$ 轴；$y^2$ 前为正，焦点在 $y$ 轴。
• 二级结论的应用： 双曲线焦点到渐近线的距离具有极高的考查频率。

如图所示，由焦点 $F(c,0)$ 向渐近线 $y=\frac{b}{a}x$ 引垂线，垂足与原点、焦点的连线构成一个直角三角形，其三边长恰好为 $a,b,c$。其中垂线段长度即为 $b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 顶点到渐近线的距离： $d=\frac{ab}{c}$（由直角三角形面积公式推导）。
2. 渐近线之间的夹角： $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{b}{a}$，其中 $\theta$ 为包含双曲线分支的那个角。
3. 等轴双曲线： 当 $a=b$ 时，渐近线互相垂直，离心率 $e=\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-04 单-双曲线渐近线距离
• 2018-天津卷理-07 单-双曲线离心率
• 2018-江苏卷-08 填-双曲线性质