2015-北京卷理-13 填-向量基本定理

本题导读

本题考查平面向量基本定理及其线性运算。核心思路是选取 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 作为基底，利用题目给出的点分比例关系，通过向量的三角形法则将目标向量 $\overrightarrow{MN}$ 逐步分解并表达为基底的线性组合，最后通过对应系数相等求解。

📌【题干】

Question

（2015年北京卷(理)） 在 $△ABC$ 中，点 $M,N$ 满足 $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}$.若 $\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则 $x=$ $\underline{}$，$y=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化比例关系：
   • 由 $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$ 知，$M$ 在 $AC$ 上且分 $AC$ 为 $2:1$，所以 $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。
   • 由 $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}$ 知，$N$ 为 $BC$ 的中点，所以 $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$。
2. 构建路径：利用三角形法则寻找连接 $M$ 到 $N$ 的向量链，如 $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}$。
3. 统一基底：将路径中的所有向量转化为以 $A$ 为起点的基底向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$。
   • 特别注意 $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$。
4. 比较系数：整理合并 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 的系数，得出 $x$ 和 $y$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据已知条件表达分段向量 因为 $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$，且 $A,M,C$ 三点共线， 所以 $\overrightarrow{MC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。 因为 $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}$，所以 $N$ 是 $BC$ 的中点， 则 $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$。

第二步：进行向量合成与分解 根据向量加法的三角形法则： $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}$ 代入第一步中的基底表达式： $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$

第三步：整理并确定系数 $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

第四步：得出结论 对照 $\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，可得： $x=\frac{1}{2}$，$y=-\frac{1}{6}$。

故答案为：$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基底选择：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底。在三角形问题中，通常选择从同一个顶点出发的两条边作为基底。
2. 终点减起点：掌握 $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ 这种“共起点”的减法转化是解决向量表示问题的捷径。
3. 避坑指南：处理 $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$ 时要看清方向。如果是 $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{CM}$，则 $M$ 不在 $AC$ 内部。同时，计算分式加减（如 $\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$）时需细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：本题也可以利用坐标法。设 $A(0,0),B(1,0),C(0,1)$，求出 $M,N$ 坐标后计算 $\overrightarrow{MN}$，通过方程组求 $x,y$。
• 变式思考：若 $N$ 满足 $\overrightarrow{BN}=2\overrightarrow{NC}$，则 $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，最终的系数会如何变化？ (提示：$y$ 将变为 $\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0$，即 $\overrightarrow{MN}$ 将平行于 $\overrightarrow{AB}$。)
• 能力提升：掌握“等和线定理”——若 $M,N,P$ 共线，则 $\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OM}+(1-\lambda )\overrightarrow{ON}$，可处理更复杂的共线表达问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练(Links)

• 2021-北京卷-13 填-向量数量积
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