2021-北京卷-13 填-向量数量积

本题导读

本题考查向量的加法法则及其坐标表示，以及数量积的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）已知向量 $\vec{a}=(2,1)$，$\vec{b}=(2,-1)$，$\vec{c}=(0,1)$，则 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=$；$\vec{a}\cdot \vec{b}=$．

🔍【思路分析】

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求解策略：

1. 第一空：首先利用向量加法的坐标运算法则（对应坐标相加）求出向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 的坐标，然后再利用数量积的坐标运算法则（对应坐标相乘再相加）求出其与向量 $\vec{c}$ 的点乘结果。

2. 第二空：直接利用数量积的坐标公式计算向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的点乘结果。

✅【答案】

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① $0$

② $3$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求第一空 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}$

已知 $\vec{a}=(2,1)$，$\vec{b}=(2,-1)$，$\vec{c}=(0,1)$。

首先计算向量加法：

$\vec{a}+\vec{b}=(2+2,1+(-1))=(4,0)$

然后计算数量积：

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=(4,0)\cdot (0,1)=4\times 0+0\times 1=0+0=0$。

第二步：求第二空 $\vec{a}\cdot \vec{b}$

直接根据数量积的坐标公式计算：

$\vec{a}\cdot \vec{b}=(2,1)\cdot (2,-1)$

$=2\times 2+1\times (-1)$

$=4-1$

$=3$。

结论：填空①为 $0$，填空②为 $3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

1. 向量加法的坐标运算：若 $\vec{m}=(x_1,y_1)$，$\vec{n}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{m}+\vec{n}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。

2. 向量数量积的坐标运算：若 $\vec{m}=(x_1,y_1)$，$\vec{n}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{m}\cdot \vec{n}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

拓展思考：

第一空的结果为 $0$，在几何意义上说明向量 $(\vec{a}+\vec{b})$ 与向量 $\vec{c}$ 是相互垂直的（即 $\vec{a}+\vec{b}\perp \vec{c}$）。因为 $\vec{a}+\vec{b}=(4,0)$ 是沿 $x$ 轴正方向的向量，而 $\vec{c}=(0,1)$ 是沿 $y$ 轴正方向的向量，两者显然垂直。

易错点提醒：

在进行数量积运算时，千万不要和复数乘法或单纯的坐标加法混淆，一定要牢记是“横纵坐标分别相乘，然后再把两个乘积相加”，结果是一个标量（实数），而不是一个向量（坐标）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积