2015-四川卷文-08 单-指数模型

本题导读

$e^b=192$，$e^{22k+b}=48\Rightarrow e^{11k}=\frac{1}{2}$，则 $e^{33k+b}={\left(e^{11k}\right)}^3\cdot e^b=\frac{192}{8}=24$，选 C。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 某食品的保鲜时间 $y$（单位：小时）与储藏温度 $x$（单位：${}^{\circ }$C）满足函数关系 $y=e^{kx+b}$（$e=2.718\cdots$ 为自然对数的底数，$k$，$b$ 为常数）.若该食品在 $0^{\circ }$C 的保鲜时间是 192 小时，在 $22^{\circ }$C 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 $33^{\circ }$C 的保鲜时间是 ()

A. 16 小时　　　B. 20 小时　　　C. 24 小时　　　D. 28 小时

🔍【思路分析】

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$e^b=192$，$e^{22k+b}=48\Rightarrow e^{11k}=\frac{1}{2}$，则 $e^{33k+b}={\left(e^{11k}\right)}^3\cdot e^b=\frac{192}{8}=24$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $x=0$ 时 $y=192$，得 $e^b=192$。

由 $x=22$ 时 $y=48$，得 $e^{22k+b}=48$，即 $e^{22k}\cdot 192=48$，$e^{22k}=\frac{1}{4}$，故 $e^{11k}=\frac{1}{2}$。

当 $x=33$ 时，$y=e^{33k+b}={\left(e^{11k}\right)}^3\cdot e^b={\left(\frac{1}{2}\right)}^3\times 192=\frac{192}{8}=24$。

故保鲜时间为 24 小时。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数模型在实际问题中的应用

核心方法：整体代换：不求 $k$、$b$ 的具体值，直接算 $e^{11k}$ 与 $e^b$ 的组合

避坑指南：$33=\frac{3}{2}\times 22$，所以要用 $e^{11k}=\frac{1}{2}$ 的三次方，而不是 $e^{22k}=\frac{1}{4}$ 的平方（$66^{\circ }$C 才用后者）；温度关系看错幂次是主要失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数增长（衰减）模型是函数应用题的常见载体，与 2015 年四川卷理第 8 题同题（文理同题）。

结论推广：温度每降低 11${}^{\circ }$C 保鲜时间翻一倍：本题数据 $0\to 22\to 33$ 正构成 $192\to 48\to 24$ 的等比结构，可作快速验算。

方法推广：指数模型题坚持”整体代换”：把 $e^{kx}$ 与 $e^b$ 当作两个整体未知数，用幂的运算法则组合，避免解对数方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练(Links)

• 2015-四川卷理-8
• 2014-四川卷理-19 解-等差数列的通项与前 n 项和