2014-四川卷理-19 解-等差数列的通项与前 n 项和

本题导读

本题考查等差数列与指数函数的结合。第一问通过点在图象上的位置关系确定公差；第二问通过导数的几何意义求出等差数列的项，并对“等差×等比”型数列进行错位相减求和，是高考数列板块的经典考法。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，点 $(a_n,b_n)$ 在函数 $f(x)=2^x$ 的图象上 ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$).

(1) 若 $a_1=-2$，点 $(a_8,4b_7)$ 在函数 $f(x)$ 的图象上，求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$；

(2) 若 $a_1=1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $(a_2,b_2)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2-\frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\{\frac{a_n}{b_n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：基本量计算
   • 由点 $(a_n,b_n)$ 在 $f(x)=2^x$ 上得 $b_n=2^{a_n}$。
   • 点 $(a_8,4b_7)$ 在图象上意味着 $4b_7=2^{a_8}$。
   • 代入 $a_n$ 的等差公式，解出公差 $d$，再求 $S_n$。
2. 第二问：切线与错位求和
   • 利用导数 $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2$ 写出在 $(a_2,b_2)$ 处的切线方程。
   • 令 $y=0$ 求出 $x$ 轴截距，通过已知截距解出 $a_2$，进而确定数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$。
   • 观察到 $\frac{a_n}{b_n}=\frac{n}{2^n}$ 是“等差型 $\times$ 等比型”数列，使用错位相减法求和。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求 $S_n$；第 (2) 小题：求 $T_n$

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求 $S_n$ 依题意，$b_n=2^{a_n}$。 因为点 $(a_8,4b_7)$ 在 $f(x)=2^x$ 的图象上， 所以 $2^{a_8}=4b_7=2^2\cdot 2^{a_7}=2^{a_7+2}$。 从而 $a_8=a_7+2$，即公差 $d=a_8-a_7=2$。 已知 $a_1=-2,d=2$，则： $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=-2n+\frac{n(n-1)}{2}\times 2=n^2-3n=n(n-3)$

第 (2) 小题：求 $T_n$ $f(x)=2^x⟹f^{\prime }(x)=2^x\ln 2$。 在点 $(a_2,b_2)$ 处的切线斜率为 $k=2^{a_2}\ln 2$，切线方程为： $y-2^{a_2}=2^{a_2}\ln 2(x-a_2)$ 令 $y=0$，得 $x=a_2-\frac{2^{a_2}}{2^{a_2}\ln 2}=a_2-\frac{1}{\ln 2}$。 由已知截距为 $2-\frac{1}{\ln 2}$，得 $a_2=2$。 故 $d=a_2-a_1=2-1=1$，则 $a_n=n$，$b_n=2^n$。 设 $T_n={\sum }_{i=1}^n\frac{i}{2^i}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots +\frac{n}{2^n}$ —— ① 则 $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots +\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{2^{n+1}}$ —— ② ① - ② 得： $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^n})-\frac{n}{2^{n+1}}$ 中间是首项为 $1/2$, 公比为 $1/2$ 的等比数列求和： $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^{n+1}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}$ $T_n=2-\frac{2}{2^n}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列与指数函数的综合及错位相减法求和

2. 核心方法：错位相减法求和，注意减法后剩余的首项与末项。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 裂项相消法、倒序相加法、等比数列求和公式。

2. 结论推广: 若数列 $c_n=(An+B)q^n$，其前 $n$ 项和均可用错位相减法求解，且结果通常形如 $(Cn+D)q^{n+1}+K$。

3. 方法推广: “函数+数列”的综合题，通常先通过函数关系求出通项的递推式或基本量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和
• 2025-上海卷-03 填-等差数列前n项和
• 2013-新课标II卷理-16 填-等差数列前n项和