2015-四川卷文-10 单-抛物线切圆

本题导读

设中点 $M(3,y_0)$（由圆心与切点连线垂直于直线推得），弦存在要求 $y_0^2<12$；再加上两条竖直弦，$r\in (2,4)$ 时恰有 4 条，选 D。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 设直线 $l$ 与抛物线 $y^2=4x$ 相交于 $A$，$B$ 两点，与圆 $(x-5{)}^2+y^2=r^2$（$r>0$）相切于点 $M$，且 $M$ 为线段 $AB$ 的中点.若这样的直线 $l$ 恰有 4 条，则 $r$ 的取值范围是 ()

A. $(1,3)$　　　　　B. $(1,4)$　　　　　C. $(2,3)$　　　　　D. $(2,4)$

🔍【思路分析】

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设中点 $M(3,y_0)$（由圆心与切点连线垂直于直线推得），弦存在要求 $y_0^2<12$；再加上两条竖直弦，$r\in (2,4)$ 时恰有 4 条，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4x$ 的中点弦公式：以 $M(x_0,y_0)$ 为中点的弦所在直线为 $y_{0}y=2(x+x_0)$（斜率 $k=\frac{2}{y_0}$）。

直线与圆相切于 $M$，则圆心 $C(5,0)$ 与 $M$ 的连线垂直于直线。直线 $y_{0}y-2x-2x_0=0$ 的法向量为 $(-2,y_0)$，$\overrightarrow{CM}=(x_0-5,y_0)$，由平行得 $\frac{x_0-5}{-2}=\frac{y_0}{y_0}=1$，即 $x_0=3$。

弦存在的条件：$M$ 在抛物线开口内部，即 $x_0>\frac{y_0^2}{4}$，得 $y_0^2<12$。此时 $M=\left(3,y_0\right)$，$y_0\ne 0$，对应斜率存在的直线恰 2 条（$y_0=\pm \sqrt{r^2-4}$，因 $r^2=|CM{|}^2=4+y_0^2$），需要 $r^2<12$ 且 $r^2>4$，即 $2<r<\sqrt{12}$。

斜率不存在的情形：竖直弦 $x=c$ 的中点为 $(c,0)$，圆心 $C(5,0)$ 与其连线水平，天然垂直于竖直直线。切点在圆上要求 $|5-c|=r$，得 $c=5-r$ 或 $c=5+r$；弦存在要求 $c>0$。当 $r<4$ 时 $5-r>1>0$，两条竖直直线都满足，恒贡献 2 条。

故直线的总数为 $2+2=4$ 条 $⟺2<r<\sqrt{12}<4$，即 $r\in (2,4)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线中点弦存在条件与直线与圆相切的综合

核心方法：中点弦公式定斜率，切线垂直关系定中点轨迹，再按斜率存在与否分类计数

避坑指南：两类直线别漏：竖直弦（斜率不存在）对任意 $r$ 恒贡献 2 条，是”恰有 4 条”的必要拼图；只算斜率存在的 2 条会误选 A 或 C。端点 $r=2$ 时 $y_0=0$ 两线重合为 1 条，$r=4$ 时弦退化为点，均不足 4 条，故端点取开。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：以抛物线中点弦为载体、圆的切线为约束的计数问题是 2015 年四川卷的亮点压轴选择，2015 年四川卷理第 10 题同题（文理同题）。

结论推广：一般地，抛物线 $y^2=2px$ 以 $M(x_0,y_0)$ 为中点的弦方程为 $y_{0}y=p(x+x_0)$，弦存在 $⟺x_0>\frac{y_0^2}{2p}\cdot 2$（即 $M$ 在开口内部）。

方法推广：中点弦问题抓住两条主线：斜率公式 $k=\frac{p}{y_0}$ 与中点在曲线内部的判别式条件；涉及相切时用”圆心与切点连线垂直于切线”转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2015-四川卷理-10 单-抛物线性质
• 2011-四川卷理-10