2015-四川卷文-19 解-解三角形

本题导读

由判别式 $\Delta \ge 0$ 保证 $p\ne 0$，$\tan (A+B)=\sqrt{3}\cdot \frac{p}{p}=-\sqrt{3}$，得 $C=60^{\circ }$；（Ⅱ）$B=45^{\circ }$、$A=75^{\circ }$，$\tan A=2+\sqrt{3}$，解得 $p=-1-\sqrt{3}$。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 已知 $A$，$B$，$C$ 为 $△ABC$ 的内角，$\tan A$，$\tan B$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2+\sqrt{3}px-p+1=0$（$p\in \mathbf{R}$）的两个实根.

(1) 求 $C$ 的大小；

(2) 若 $AB=3$，$AC=\sqrt{6}$，求 $p$ 的值.

🔍【思路分析】

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由判别式 $\Delta \ge 0$ 保证 $p\ne 0$，$\tan (A+B)=\sqrt{3}\cdot \frac{p}{p}=-\sqrt{3}$，得 $C=60^{\circ }$；（Ⅱ）$B=45^{\circ }$、$A=75^{\circ }$，$\tan A=2+\sqrt{3}$，解得 $p=-1-\sqrt{3}$。

✅【答案】

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(1) $C=60^{\circ }$

(2) $p=-1-\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，方程的判别式 $\Delta =(\sqrt{3}p{)}^2-4(-p+1)=3p^2+4p-4\ge 0$，解得 $p\le -2$ 或 $p\ge \frac{2}{3}$，故 $p\ne 0$。

由韦达定理：$\tan A+\tan B=-\sqrt{3}p$，$\tan A\tan B=1-p$。

于是 $1-\tan A\tan B=1-(1-p)=p\ne 0$，从而

$\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=\frac{-\sqrt{3}p}{p}=-\sqrt{3}$。

又 $A+B\in (0,\pi )$，所以 $A+B=\frac{2\pi }{3}$，$C=\pi -(A+B)=\frac{\pi }{3}$，即 $C=60^{\circ }$。

(2) 由正弦定理，$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$，得 $\sin B=\frac{AC\sin C}{AB}=\frac{\sqrt{6}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

因 $A+B=120^{\circ }$，$B<120^{\circ }$，故 $B=45^{\circ }$（$135^{\circ }$ 舍去），于是 $A=75^{\circ }$。

$\tan A=\tan 75^{\circ }=\tan (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=2+\sqrt{3}$，$\tan B=1$。

所以 $\tan A+\tan B=3+\sqrt{3}=-\sqrt{3}p$，解得 $p=-\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-(\sqrt{3}+1)=-1-\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：韦达定理与两角和正切、正弦定角的综合

核心方法：判别式保证实根与 $p\ne 0$，韦达整体代入；正弦定理先定 $B$ 再求 $\tan A$

避坑指南：$\tan (A+B)$ 的分母 $1-\tan A\tan B=p$ 不为零，须先用判别式范围说明 $p\ne 0$ 才能约去；（Ⅱ）中 $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 有两解，$B=135^{\circ }$ 会使 $A+B>180^{\circ }$，必须舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：方程根与三角形内角结合是四川卷解三角形的特色命题，2015 年四川卷理第 19 题同型，2010 年四川卷理第 19 题同为解三角形与方程综合。

结论推广：由（Ⅰ）的结构可推广：方程 $x^2+k\cot C\cdot x-(1-\cot C)=0$ 型中，$\tan (A+B)=-\frac{1}{\tan C}$ 恒成立，说明”韦达 + 和角公式”能反解出内角约束。

方法推广：解三角形中”角由方程根给出”的问题，路线固定：判别式定参 → 韦达定理 → 和角/差角公式求角；再由正弦定理定其余角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2015-四川卷理-19 解-二倍角公式
• 2010-四川卷理-19