2015-四川卷理-19 解-二倍角公式

本题导读

本题是平面几何与三角恒等变换的综合题。第一问要求证明一个半角正切公式，考查二倍角公式的灵活应用；第二问在圆内接四边形背景下，利用余弦定理建立边角关系，最终转化为三角函数值的计算。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 如图，$A,B,C,D$ 为平面四边形 $ABCD$ 的四个内角.

(1) 证明：$\tan \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{\sin A}$；

(2) 若 $A+C=180^{\circ }$，$AB=6,BC=3,CD=4,AD=5$，求 $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{D}{2}$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：
   • 将等式右侧的 $\cos A$ 和 $\sin A$ 利用二倍角公式展开。
   • $1-\cos A=1-(1-2{\sin }^2\frac{A}{2})=2{\sin }^2\frac{A}{2}$。
   • $\sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}$。
   • 相除即可得证。
   2. 第二问思路：
   • 代数转化：利用（1）的结论及 $A+C=180^{\circ },B+D=180^{\circ }$ 的性质化简待求式。 $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{C}{2}=\frac{1-\cos A}{\sin A}+\frac{1-\cos (180^{\circ }-A)}{\sin (180^{\circ }-A)}=\frac{1-\cos A}{\sin A}+\frac{1+\cos A}{\sin A}=\frac{2}{\sin A}$。 同理，$\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{D}{2}=\frac{2}{\sin B}$。
   • 求 $\sin A,\sin B$：
     • 连接 $BD$，在 $△ABD$ 和 $△BCD$ 中分别用余弦定理表示 $B{D}^2$。
     • $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2AB\cdot AD\cos A$。
     • $B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2-2BC\cdot CD\cos C$。
     • 由于 $\cos C=\cos (180^{\circ }-A)=-\cos A$，联立两式求出 $\cos A$，进而得 $\sin A$。
     • 连接 $AC$，同理求出 $\cos B$ 和 $\sin B$。

✅【答案】

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$\frac{4\sqrt{10}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（I）证明：

由二倍角公式知： $1-\cos A=1-(1-2{\sin }^2\frac{A}{2})=2{\sin }^2\frac{A}{2}$ $\sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}$ 所以： $\frac{1-\cos A}{\sin A}=\frac{2{\sin }^2\frac{A}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}=\tan \frac{A}{2}$ 证毕。

（II）计算数值

由 $A+C=180^{\circ }$，且四边形内角和为 $360^{\circ }$，得 $B+D=180^{\circ }$。 根据（I）的结论： $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{C}{2}=\frac{1-\cos A}{\sin A}+\frac{1-\cos C}{\sin C}=\frac{1-\cos A}{\sin A}+\frac{1-\cos (180^{\circ }-A)}{\sin (180^{\circ }-A)}=\frac{1-\cos A}{\sin A}+\frac{1+\cos A}{\sin A}=\frac{2}{\sin A}$ 同理可得 $\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{D}{2}=\frac{2}{\sin B}$。 待求式为 $\frac{2}{\sin A}+\frac{2}{\sin B}$。

1. 求 $\sin A$： 连接 $BD$，在 $△ABD$ 与 $△BCD$ 中： $B{D}^2=6^2+5^2-2\times 6\times 5\cos A=61-60\cos A$ $B{D}^2=3^2+4^2-2\times 3\times 4\cos C=25-24(-\cos A)=25+24\cos A$ 由 $61-60\cos A=25+24\cos A$，得 $84\cos A=36⟹\cos A=\frac{3}{7}$。 则 $\sin A=\sqrt{1-(\frac{3}{7}{)}^2}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$。

2. 求 $\sin B$： 连接 $AC$，同理： $A{C}^2=6^2+3^2-2\times 6\times 3\cos B=45-36\cos B$ $A{C}^2=5^2+4^2-2\times 5\times 4\cos D=41+40\cos B$ 由 $45-36\cos B=41+40\cos B$，得 $76\cos B=4⟹\cos B=\frac{1}{19}$。 则 $\sin B=\sqrt{1-(\frac{1}{19}{)}^2}=\frac{6\sqrt{10}}{19}$。

3. 代入计算： 原式 $=\frac{2}{\frac{2\sqrt{10}}{7}}+\frac{2}{\frac{6\sqrt{10}}{19}}=\frac{7}{\sqrt{10}}+\frac{19}{3\sqrt{10}}=\frac{21+19}{3\sqrt{10}}=\frac{40}{3\sqrt{10}}=\frac{4\sqrt{10}}{3}$。

答案：$\frac{4\sqrt{10}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：半角公式与倍角公式的转化；圆内接四边形对角互补的性质；余弦定理求角度。
• 核心方法：化归法。将复杂的四个正切值求和利用对称性化简为两个正弦值的倒数和。
• 避坑指南：计算余弦定理方程时，注意 $\cos C=-\cos A$ 的负号变换；最后分母有理化要准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于圆内接四边形，$B{D}^2=\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}$（托勒密定理相关推论）。

• 相关知识点：正弦定理、四边形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练(Links)

• 2010-四川卷理-19
• 2014-四川卷理-19 解-等差数列的通项与前 n 项和
• 2016-四川卷理-17