2015-四川卷理-06 单-计数原理

本题导读

本题考查排列组合的综合应用。题目包含三个限制条件：无重复数字、比 40000 大、偶数。解题核心在于处理万位与个位的相互制约关系，通过分类讨论确保不重不漏。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 用数字 $0,1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的五位数，其中比 $40000$ 大的偶数共有 ()

A. $144$ 个　　　　B. $120$ 个　　　　C. $96$ 个　　　　D. $72$ 个

🔍【思路分析】

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1. 分析限制条件：
   • 比 40000 大：万位数字只能从 $\{4,5\}$ 中选取。
   • 偶数：个位数字只能从 $\{0,2,4\}$ 中选取。
   • 无重复数字：已使用的数字不能再次使用。
2. 处理冲突点：数字 $4$ 既是万位的候选，也是个位的候选。因此必须针对万位是否为 $4$ 进行分类讨论。
3. 分类计数：
   • 第一类：万位是 4。此时个位只能选 $\{0,2\}$。
   • 第二类：万位是 5。此时个位可以选 $\{0,2,4\}$。
4. 分步填充：确定万位和个位后，中间的三个位置从剩余数字中任取 3 个进行排列。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分类讨论

• 情况 1：万位数字为 4
  • 万位：固定为 4（$1$ 种选法）。
  • 个位：需为偶数，可选数字为 $\{0,2\}$（$C_2^1=2$ 种选法）。
  • 中间三位：从剩余的 $6-2=4$ 个数字中任选 $3$ 个进行排列（$A_4^3$ 种选法）。
  • 计算：$1\times 2\times A_4^3=2\times (4\times 3\times 2)=48$ 个。
• 情况 2：万位数字为 5
  • 万位：固定为 5（$1$ 种选法）。
  • 个位：需为偶数，可选数字为 $\{0,2,4\}$（$C_3^1=3$ 种选法）。
  • 中间三位：从剩余的 $6-2=4$ 个数字中任选 $3$ 个进行排列（$A_4^3$ 种选法）。
  • 计算：$1\times 3\times A_4^3=3\times (4\times 3\times 2)=72$ 个。

第二步：求和 根据分类加法计数原理，总数为： $48+72=120\text{ 个}$

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：有限制条件的排列问题；特殊位置（万位、个位）优先安排。
• 核心方法：分类讨论法。当一个元素同时满足多个限制条件（如本题的“4”既影响大小又影响奇偶）时，按该元素的位置进行分类是标准做法。
• 避坑指南：不要直接用 $2\times 3\times A_4^3$ 计算，因为如果万位选了 $4$，个位就不能选 $4$，选法会变少。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 含有 0 的组数问题，还要额外注意最高位不能为 0，但本题万位已限 $4,5$，自动规避了 0 的限制。

• 相关知识点：插空法、捆绑法（用于处理相邻/不相邻问题）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理
• 2016-四川卷理-04
• 2013年四川卷理-11