2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理

本题导读

本题考查有限制条件的排列问题。核心在于处理“甲、乙”在特定位置的冲突，通过对最左端元素进行分类讨论，简化最右端的限制条件。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 ()

A. 192 种　　　　B. 216 种　　　　C. 240 种　　　　D. 288 种

🔍【思路分析】

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1. 识别限制条件：
   • 位置限制：最左端（第 1 位）和最右端（第 6 位）。
   • 元素限制：甲、乙。
2. 确定分类标准：由于甲在最左端时，最右端的限制自然消失；而乙在最左端时，最右端仍受限制。因此，以“最左端排谁”为标准进行分类。
3. 计算各步数：利用排列公式 $A_n^m$ 或阶乘 $n!$ 计算每一类的情况数，最后相加。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一类：最左端排甲

• 确定左端：甲固定在第 1 位，有 $1$ 种排法。
• 确定右端：由于甲已不在右端，最右端无特殊限制。
• 全排列其余人：剩余 5 人在剩余 5 个位置全排列，共有 $A_5^5=5!=120$ 种排法。

第二类：最左端排乙

• 确定左端：乙固定在第 1 位，有 $1$ 种排法。
• 确定右端：最右端（第 6 位）不能排甲，且乙已排在左端。因此，最右端只能从除甲、乙之外的其余 4 人中选 1 人，共有 $C_4^1=4$ 种排法。
• 排列中间位置：剩余 4 人在中间的 4 个位置全排列，共有 $A_4^4=4!=24$ 种排法。
• 小计：$1\times 4\times 24=96$ 种排法。

第三步：求和 根据分类加法计数原理，总排法数为： $120+96=216\text{ 种}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限制条件的排列问题。基本策略是“优先处理特殊位置或特殊元素”。

2. 核心方法：分类讨论。当一个位置的限制会影响另一个位置的限制时，分类是确保不重不漏的最佳手段。

3. 避坑指南：若直接先排最左端（2 种）再排其他，容易忽略“若左端排乙，则右端不能排甲”的联动限制，导致多算或误算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 插空法（解决不相邻问题）、捆绑法（解决相邻问题）。

2. 结论推广: 一个位置限制影响另一个位置时，按特殊元素或特殊位置分类。

3. 方法推广: 分类讨论。当一个位置的限制会影响另一个位置的限制时，分类是确保不重不漏的最佳手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-03 单-计数原理
• 2015-广东卷文-10 单-计数原理
• 2013-山东卷理-10 单-分类加法与分步乘法计数原理