2015-四川卷理-07 单-向量线性运算

本题导读

本题考查平面向量数量积的综合计算。核心在于利用向量共线关系将待求向量用基底（$\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AD}$）表示，再利用平行四边形的几何性质进行数量积运算。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 设四边形 $ABCD$ 为平行四边形，$|\overrightarrow{AB}|=6$，$|\overrightarrow{AD}|=4$.若点 $M,N$ 满足 $\overrightarrow{BM}=3\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{NC}$，则 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{NM}=$ ()

A. $20$　　　　　　　B. $15$　　　　　　　C. $9$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

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1. 建立基底：选定 $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$，$\vec{b}=\overrightarrow{AD}$ 作为基底。已知 $|\vec{a}|=6,|\vec{b}|=4$。注意：平行四边形中 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{a}$。
2. 转化已知比例：
   • 由 $\overrightarrow{BM}=3\overrightarrow{MC}$ 知 $M$ 在 $BC$ 上，且 $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}=\frac{3}{4}\vec{b}$。
   • 由 $\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{NC}$ 知 $N$ 在 $DC$ 上，且 $\overrightarrow{DN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}=\frac{2}{3}\vec{a}$。
3. 表示待求向量：
   • $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$。
   • $\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CM}$。其中 $\overrightarrow{NC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{3}\vec{a}$，$\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{4}\vec{b}$。 故 $\overrightarrow{NM}=\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{1}{4}\vec{b}$。
4. 计算数量积：利用数量积的分配律展开 $(\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b})\cdot (\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{1}{4}\vec{b})$。 由于是平行四边形，$\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的值取决于夹角，但观察展开式，如果出现 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 项抵消的情况，则结果为定值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：用基底表示向量 设 $\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AD}=\vec{b}$。 由题意得： $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$ $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{a}$ 则 $\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=(\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b})-(\frac{2}{3}\vec{a}+\vec{b})=\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{1}{4}\vec{b}$

第二步：展开数量积 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{NM}=(\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b})\cdot (\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{1}{4}\vec{b})$ 根据分配律： $=\frac{1}{3}{\vec{a}}^2-\frac{1}{4}\vec{a}\cdot \vec{b}+\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}\vec{b}\cdot \vec{a}-\frac{3}{16}{\vec{b}}^2$ $=\frac{1}{3}|\vec{a}{|}^2-\frac{1}{4}\vec{a}\cdot \vec{b}+\frac{1}{4}\vec{a}\cdot \vec{b}-\frac{3}{16}|\vec{b}{|}^2$ 中间两项恰好抵消（这意味着无论平行四边形形状如何，只要边长固定，结果即固定）。

第三步：代入模长求解 $=\frac{1}{3}\times 6^2-\frac{3}{16}\times 4^2$ $=\frac{1}{3}\times 36-\frac{3}{16}\times 16$ $=12-3=9$

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量的基底表示；数量积的运算律；共线向量的比例转化。
• 核心方法：基底法。在不规则或角度未知的几何图形中，将复杂向量拆解为基底向量是解决问题的“万能钥匙”。
• 避坑指南：计算 $\overrightarrow{NM}$ 时注意方向，$\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}$ 是最稳妥的路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若计算结果与 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 无关，说明该几何量对夹角具有“不变性”，这种情况下甚至可以假设四边形为长方形（夹角 $90^{\circ }$）来简化计算。

• 相关知识点：向量夹角公式、正交基底。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 21.04 空间向量求距离

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-07 单-向量数量积
• 2006-四川卷理-07 单-正六边形的几何性质
• 2007-四川卷理-07 单-向量投影