2015-四川卷理-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的直接应用。核心在于利用二项展开式的通项公式定位特定幂次的项，并准确计算组合数与常数幂的乘积。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 在 $(2x-1{)}^5$ 的展开式中，含 $x^2$ 的项的系数是 $\underline{}$（用数字作答）.

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：对于二项式 $(a+b{)}^n$，其展开式的通项公式为 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 代入参数：本题中 $a=2x$，$b=-1$，$n=5$。
3. 确定 $r$ 值：令 $x$ 的指数为 2，求出对应的 $r$。
4. 计算系数：将 $r$ 代入通项公式的系数部分（包含组合数和常数项）。

✅【答案】

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-40

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出通项 $(2x-1{)}^5$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_5^r\cdot (2x{)}^{5-r}\cdot (-1{)}^r$ 整理得： $T_{r+1}=C_5^r\cdot 2^{5-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{5-r}$

第二步：锁定目标项 要求含 $x^2$ 的项，令 $5-r=2$，解得 $r=3$。

第三步：计算系数 将 $r=3$ 代入系数部分： 系数 $=C_5^3\cdot 2^{5-3}\cdot (-1{)}^3$ 因为 $C_5^3=C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$； $2^2=4$； $(-1{)}^3=-1$。 所以： 系数 $=10\times 4\times (-1)=-40$。

答案：-40

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}$；组合数计算。
• 核心方法：公式法。
• 避坑指南：
  1. 符号问题：底数中的负号一定要带入 $b$ 中参与幂次运算。本题 $r=3$ 为奇数，负号保留。
  2. 系数组成：系数不仅包含组合数 $C_5^3$，还包含 $(2x)$ 展开后产生的 $2^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若题目要求“二项式系数”，则仅指组合数 $C_n^r$，结果恒为正；若要求“系数”，则需考虑项内所有常数倍数。

• 相关知识点：杨辉三角、二项式系数的性质。

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